THÉORIE DES POINTS SINGULIERS
Définitions .
462. Un cercle de rayon infiniment petit ayant son centre situé sur une courbe plane, coupe en général celle-ci en deux points que l'on peut regarder comme diamélraloment opposés, encesensque les rayons qui s'y terminent forment un angle infiniment peu différent de deux droits. Toutes les fois qu'il en est autrement, le centre du cercle est regardé comme un point singulier. Celte dénomination comprend :
Les points de rebroussement, tels, que le cercle infiniment petit décrit de ces points
comme centre coupe la courbe en deux points dont les rayons forment un angle infiniment petit; on les distingue en points de rebroussement de première et de seconde espèce, suivant que les deux branches de courbe sont situées de côtés différents {^g. i), ou d'un même côté (Jîg. a), par rapport à la tangente commune ;
Fig. I. Fig. 1.
Les points d'arrêt, tels, que le cercle ne coupe la courbe qu'en un seul point;
Les points anguleux, tels, que le cercle coupe la courbe en deux points dont les rayons forment un angle fini.
Les points multiples, où se croisent plusieurs branches de courbe, tangentes ou non les unes aux autres, et tels, par conséquent, que le cercle coupe la courbe en plus de deux points;
Les points isolés, qui ne sont voisins d'aucun autre, et tels, par conséquent, que le cercle infiniment petit dont on a parlé ne coupe la courbe en aucun point réel.
Caractère analytique des points singuliers.
463. Les points singuliers d'une classe nombreuse de courbes peuvent être découverts à l'aide du théorème suivant :
Si l'équation d'une courbe est Y [x, y) =o, la fonction Y étant continue et parfaitement déterminée pour des valeurs données de œ et dey, les coordonnées d'un point
singulier satisfont nécessairement aux deux équations
, , dY d¥
(') -3^ = 0, -jp = o.
Soient en effet aelb les coordonnées d'un point M de la courbe, pour lequel les équations (i) ne soient pas toutes deux satisfaites; soient oc -h h, ^-\-k, les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec un cercle de rayon R ayant son centre en M; posons
A ^ R ces M , /f = R sin u,
ce qui revient à nommer R et « les coordonnées polaires du point d'intersection; en prenant le point M pour pôle et une parallèle à l'axe desX pour axe polaire, on aura
(*) F(a-t-RcosH, 6-+- Rsin «<) = o.
En appliquant le théorème de Taylor, et remarquant que l'on a F (a, b) = o, l'équation (2) devient
</F rfF
(3) 0= -y- RcosM-f--jr Ksinj< + MRS
da do
M ayant une limite finie lorsque R tend vers zéro; l'équation (3) peut s'écrire
o = -r- CCS « + -jT sui it -f- MR , da do
et la valeur de a qui y satisfait, lorsque R est infiniment petit, diffère évidemment fort peu de la valeur u, pour laquelle on a
dV rfF
c'est-à-dire
-;— cosit, -f- —jT sin II, =0, da . do
rfF
da lang«, = -^.,
db
qui correspond à une direction unique et déterminée, puisque, par hypothèse,
-T— et -TT ne sont pas nuis tous deux. da db ^
Les rayons vecteurs qui réunissent le point M aux points d'intersection, font, d'après cela, des angles infiniment petits avec une même droite, et la courbe a par conséquent en M une tangente unique. Mais cela n'exclut pas encore tous les genres de points singuliers, et il faut prouver qu'il n'y a en M, ni point de rehroussement, ni point multiple, oii se croisent plusieurs branches de courbe ayant même tangente. Pour cela nous démontrerons que la tangente, dont l'existence a été démontrée, coupant le cercle de rayon R en deux points diamétralement opposés P et Q, la courbe proposée le coupe elle-même en deux points seulement, dont l'un est infiniment voisin de Pet l'autre de Q.
Considérons, en effet, h droite et h gauche du point Q, el sur le cercle PQ. deux points 1 et I' correspondant à des rayons MI, MI', inclinés sur MQ d'un angle donné «; faisons varier u, d'une manière continue, depuis la valeur m, — « qui correspond au point I', jusqu'au, -ha qui correspond au point I, et examinons la
variation correspondante du premier membre de (3). Il devient pour u = u, — a
et pour M = M, -t-«
-r- ces (m, — a)+ -TT- sin(e<, — a) + MR,
Posons
(if d¥
-j- cos(^<, + a)-f- -TT sin (m, +a) + M'K. cla do
d¥ , . (IF ,
-T-=«'SinMi, —rr =^ — Arcos«<, , aa. do
ce qui est toujours possible, puisque -r- et -^ ne sont pas nuls, et que l'on a
da -^ = lang«„
db l'équation de la courbe devient
(4) /rsin(M| — M)-f-MR = o,
R étant infiniment petit, si l'on fait varier « de m, — « à a, -4- a , ou de tt -+- w, — a à 71+ M, + a, le premier membre change évidemment de signe dans chacun de ces ^ntervîilles, et de plus il ne change qu'une fois, car la dérivée par rapport à u
1 , > 1. dM
— «■ces M, — M + n -7- ' du
ne change de signe dans aucun des deux intervalles, et par conséquent le premier membre de (4), étant toujours croissant ou toujours décroissant, ne peut s'annuler qu'une fois.
