Déterminer, pour x=o, la véritable valeur de
' sécx — rosx
— Celte fraction, pour ir=o, se présente SOUS la forme -? et il en est de même du
rapport des dérivées de ses deux termes. La règle générale prescrirait donc ici deux différentiations; on peut les éviter en remarquant que l'on a
l(t -f-jr + j:') + 1 (i — x-hx') ^cosx\{i +x''-\- x') sér X — cos.r sin'a;
Le facteur cosa; tendantvers l'unité, n'exerce aucune influence sur la limite ; ^^^
tendant vers l'unité, on peut remplacer le dénominateur par a^^ et la limite cherchée est égale à celle de
Or on a
que l'on peut, pour une valeur infiniment petite de a?, réduire au premier terme x'-\ la limite cherchée est donc l'unité.
460 . Déterminer, pour x=o, la véritable valeur de ■^•«■"(s'"^)— ^'"'^ - Pour a p-
pliquer à cette fraction la règle générale, il faudrait prendre six fois la dérivée de chaque terme ; le développement en série du numérateur conduit au même hut par un calcul plus facile. On a
,,- ,„. , . sin'x sin' x
sm (sma;)=sin.r : 1 ....
Dans chacun des termes du second membre, remplaçons sin x par la série qui le représente, et supprimons les termes djjnt le degré surpasse 5, et qui, multipliés par X et divisés par x\ doivent donne'r un quotient dont la limite est nulle; nous
aurons
. sin(sinx) = .r-:^+^-l .^ ,^ . .
o lao b \ 2 / 120 3 lo
On a aussi, en négligeant cette fois les termes en x\
et par conséquent, en négligeant toujours les termes en x\
•ï-sin {s\nx) — si\\'x=x'i- -^.\ = -,
le quotient
.rsin(sinar) — sin'.r
a donc pour limite -g-
i61 . Déterminer, pour x=^o, la véritable valeur de — L'application
directe de la règle générale conduirait dans ce casa substituer indéfiniment au problème proposé un autre plus compliqué et de même nature. La solution est au contraire très-simple si l'on a recours à des artifices analogues à ceux que nous avons employés dans les cas précédents. En appliquant d'abord la règle générale, on substitue à la fonction proposée le rapport des dérivées
l'Iiypotbèse x=-o rend les deux termes du numérateur infinis, et l'on n'a fait, comme on voit, que substituer une difficulté à une autre.
Pour calculer la véritable vajeur de l'expression ( i ), donnons-lui la forme
(i-i-.t)'^ ayant évidemment pour limite e, il suffit de chercber la véritable valeur de
Remplaçons l(i + x) par la série qui la représente, en négligeant dans le produit [i + x)\[\ -^x)\es termes en x'^, nous aurons
la limite cherchée est donc — ■-■, et l'on a par conséquent
lim =
(Cherchons encore la limite de la fonction
(?) lim
ex
[\-\-xY—e-\
480 PHEMIÈRE PAUTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEr..
qui, d'après le calcul précédent, prend pourj"=:o, la forme-- Le rapport des dérivées des deux termes est
Le dénominateur étant ici 2X, nous pouvons, sans altérer la limite, dans le calcul du numérateur, négliger les termes en .r^. Occupons-nous d'abord du facteur
En y remplaçant I(i + x) par son développement, on voit que ce facteur, quand on
y néglige les termes en x'-, se réduit à 1- -• Le multiplicateur (i + ^)^~' ayant
une limite finie, nous pouvons nous borner à cette approximation; mais il n'est pas permis de remplacer ce multiplicateur par sa limite e, l'erreur commise serait en effet comparable à .v, et ne doit pas être négligée. On a, en négligeant les termes en x^ , .
ex
par conséquent, au même degré d'approximation.
{\-\-xY = '-z=(i-^x)'{i — x} = e ex.
J/expression (4) devient ainsi
dont la limite est — r' et l'on a enfin
,. 2 we
lim = — ;- •
La valeur approchée de (i+x)^ lorsque x est très-petit et que l'on néglige les termes en a?', est par conséquent
, , ,- ex 1 1 ex'
\\-ir- xf ^=e \-
Ce sont les trois premiers termes du développement de la fonction. On parviendrait plus directement au même but par le développement direct. Posons
on a
donc
et par conséquent
r /x X' x^ \ I fx X' ar' \n
et les premiers termes sont évidemment
Les suivants, qui s'obtiennent sans difficulté, font connaître les limites des expressions
- ex 1 1 ex'' {\ + xf—e-\
(i-Har)' — e-t-
ex 1 1 ex'' 1 1 ex"
dont la première est —7-) et la seconde -^ e.
