Lorsque les trois équations , , rfF rfF rfF

sont satisfaites, le point correspondant M de la surface peut présenter diverses singularités, nous nous bornerons à déterminer dans ce cas, et en supposant qu'aucune autre condition exceptionnelle ne se présente, le cône formé par les droites qui touchent au point M les courbes tracées sur la surface.

En désignant par a-t-a?,, 6-f-j,, c + z,, les coordonnées d'un point de la surfacevoisindupointsingulierdont lescoordonnéessonta, h,c, et en ayant égardaux conditions (i), le théorème de Taylor permettra de mettre l'équation F ( a;, ^, 2) =0 sous la forme

I /rf'F , rf'F , d'¥ , rf'F. d'V , </'F \^„

M contenant des termes du troisième ordre, ou d'ordre supérieur, par rapport à œ,, y,, s,. Si l'on coupe la surface par une sphère de rayon infiniment petit R, ayant son centre au point M, on aura, en désignant par a, |3, 7 les angles formés par les axes de coordonnées avec le rayon vecteur qui aboutit à l'un des points d'intersection •

.«■, =:Rcosa, ;^, = Rcosp, ^, = RcOS7.

Par la substitution de ces valeurs, le facteur R' figurera à tous les termes de M, et l'équation deviendra, en supprimant ce facteur,

1 /d'¥ , d'F ,„ (in^ ,

-t-2 , C0SaC0Sp-|-2Tj-y- cospcos7 + 2 - — y- cosa cos 7 1 + M,R = 0,

et les angles a, /3, y, sont donc tels, que le polynôme placé entre parenthèses soit infiniment petit avec R; il en résulte évidemment que toutes les courbes tracées sur la surface sont tangentes aux génératrices du cône lieu des droites pour lesquelles cette condition est remplie, et qui a pour équation

c'est un cône du second degré. S'il est imaginaire, la surface n'a pas de tangentes au point M, qui est par conséquent un point isolé.

471 . Il existe sur certaines surfaces, des lignes singulières suivant lesquelles elles sont touchées par un même plan, et dont la recherciie se rattache naturellement au sujet traité dans ce chapitre^

Soit

l'équation d'une surface. Si l'on pose

dz dz

l'équation du plan tangent est

Les coordonnées du point de contact en variant infiniment peu, deviennent if + rf.r, y + dy, z + dz; les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (a) reste la même, sont évidemment

dz=pdx + qdy dp::::^0, d<j=^o.

La première est toujours satisfaite. Quant aux deux suivantes, elles peuvent s'écrire

et pour qu'elles soient compatibles, on doit avoir

dp dq dp dq

dx dy dy dx

Si l'on pose

dx^ ' dy'' ' dx dy '

cette équation équivaut à

( 5 ) vt— s' = o ;

elle détermine sur la surface la courbe suivant laquelle elle peut être touchée par un plan. Il faut bien remarquer que si l'on a trouvé sur une surface une courbe pour les points de laquelle l'équation (5) soit satisfaite, il n'est pas certain pour cela que le plan tangent soit le même en tous les points de cette courbe ; il faut encore, en effet, que les deux équations (4) soient satisfaites, lorsque (/a; et dy désignent les déplacements infiniment petits effectués sur cette courbe. Lorsque l'équation rt — s- — o est satisfaite pour tous les points d'une surface, on peut trouver en chaque point une direction suivant laquelle on peut déplacer le point de contact du plan tangent, sans que celui-ci change de position; chaque plan tangent touche alors la surface suivant une ligne, et celle-ci étant l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation ne contient évidemment qu'un seul paramètre, est une surface développable.

EXERCICES

I . Aucune courbe algébrique ne présente de points d'arrêt; eu d'autres ternies, le cercle iuiiuimcnt petit ayant pour rentre un point d'une courbe algébrique, ne coupe jnm;ii< hi rourbc en un point unique.

•2. Aucune courbe algébrique ne présente de points anguleux ; en d'autres termes, lecercic infiniment petit ayant pour centre un point d'une (umlii' algébrique, ne coupe jamais la courbe en deux points séparés par un arr dont la liinitc (liOV-rc de zéro ou d'une demifirconférence.

t. La courbe représentée par l'équation

ii)i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

où 71 désigne un nombre entier quelconque, n'a pas de point singulier, quoique les dérivées

du premier membre s'annulent toutes deux pour j = o , x = i.