MM
p ~ 2MM' ' 2MM'
Si l'on nomme y l'angle formé par la normale MO avec les rayons vecteurs FM, F'M, on a évidemment, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
MM'cos9~FM MM'coso F'M
et par conséquent
(S) P=~T- \Fm'^Fm)'
c'est-à-dire, en représentant les deux rayons vecteurs par â et 0", ,
I coscp/i , i\ (ô-M')cos9
La somme (? et d^ étant égale au grand axe a a, cette formule devient
I a cos qj
dd' '
On peut facilement la transformer en une autre plus élégante. En nommant 2 c la distance des foyers, on a
4c'=^'4-â''— aôô'cos2 9=(3-t-â')'— 2d<3'(i-|-cos29), 4c' = 4a' — 4 5^' cos» 9,
ou
d'où
cos' 9 cos' 9 b désignant le petit axe; la formule (7) devient donc
I a cos' 9
en nommant p le paramètre — > on a enfin
ces' 9
Rayon de courbure de la cycloïde. — Soient AMS une cycloide; MI, MT, deux
positions infiniment voisines du cercle générateur correspondant aux points .M et M'. Les normales en ces points sont (14) MI, MT, et le centre de courbure est le point 0 où elles se coupent. En nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des normales, on a, comme dans le cas précédent,
MM'
Or l'arc MM' est double (20) de l'arc de cercle ayant Ml pour rayon, et dont l'angle au centre e^^jprécisément celui que forment les normales extrêmes de MM'. Le rapport d'^ arc de cercle à son angle étant égal au rayon du cercle, l'arc MM' qui est double, étant divisé par le même angle, donnera un quotient double, et par conséquent le rayon de courbure de la cycloide est double de la normale IM.
506. Rayon de courbure dune roulette quelconque. — Considérons la courbe décrite par un point invariablement lié à une courbe mobile qui roule sans glisser sur une courbe fixe donnée.
Soient AOA' la courbe fixe, et BOB' la position de la courbe mobile, lorsque le
point de contact est en
Pour obtenir le point M' infiniment voisin de M sur la roulette, il faut faire mouvoir la courbe BOB' de tellesorte qu'un point 0,, infiniment voisin deO, vienne se placer Sur un point O2, tel que OOj — GO,, et que les deux courbes soient tangentes l'une à l'autre en ce point commun. Or le mouvement que doit prendre pour cela la courbe mobile, et auquel participe le point M, peut être remplacé par deux autres, effectués successivement, savoir: une translation dans laquelle tous les points décrivent des droites égales et parallèles à O.O,, et une rotation autour du point 0,, telle, que la normale OjN, vienne se placer dans le prolongement de la normale 0,N,, et tourne par conséquent d'un angle égal à celui des deux normales,
c'est-à-dire à la somme de leurs inclinaisons sur ON, -n-' ■+- -^ = 00, {-^ + ir 1 •
Soit MI la droite égale et parallèle à 0,02 menée par le point M, et IM' l'arc décrit de O2 comme centre, et correspondant à l'angle de rotation indiqué; M' est le point voisin de M, situé sur la roulette. La tangente à cette courbe est la limite de la direction MM', et comme MI est infiniment petit du second ordre, on peut, en substituant '13) le point I au point M, remplacer MM' par IM', corde infiniment petite de l'arc de cercle décrit de Oj comme centre, dont la limite est la tangente au cercle de centre 0 et de rayon OM. La normale à la roulette est donc MO. La démonstration s'appliquant à toutes les positions du point M, la normale voisine est M' O2, et le point de rencontre C de ces deux droites est le centre de courbure, et l'on a, en nommant p le rayon de courbure, et C l'angle des deux normales:
MM'
Calculons les deux termes de cette fraction en négligeant, comme il est permis, les infiniment petits du second ordre.
MM' est l'arc décrit du point Oj, avec un angle égal à 00, ( 5- -t- ït ) > ^^ l'on a.
par conséquent, en remplaçant son rayon par OM, dont il diffère infiniment peu,
On a, dans le triangle MCOj,
