Rayon de courbure de l'ellipse. — Soit

ay-i-b^x'' — cûb' — o

l'équation d'une ellipse; en désignant le premier membre par (p {x, y), on a

-r-=:20'x, -r- = ^a?Ti

dx dy ■'

dx' dx dy dy'

et la formule trouvée (500) donne

(4/>'.r'+4<z«j')^ (^b'x'+a'y'}' {b'x'-ha*y'y^ ^ ~ 8h'a'y'-i-8a'b'x'' '~ a'b'(a'y''-\-b'x') ~ â<è*

En nommant N la portion de la normale comprise entre la courbe et l'axe des x,

^^ ^ a'y'-hb>x' ^ a* et par conséquent

P = -br- Si l'on nomme/) le paramètre —, on a

Cette formule est applicable à l'hyperbole et s'obtient par le même calcul dans lequel il suffit de changer 6* en — è*. Elle est applicable aussi à la parabole. Soit en effet

l'équation d'une parabole : on a

d^ d(ji

d'f rf'9 d'f

rfj?~"' 7nrdj~°' w^^'

et par conséquent

La sous-normale étant égale à^, y^ -\-p^ est égal au carré de la normale, et l'on a

Hayon de courbure de la cycloide. — Les équations de la cycloïde sont

X =^a{ii — sin m), y =za{i — ces m).

La formule la plus commode à employer est

d'^ydx — dyd^x ' elle donne après des réductions évidentes

La normale, comprise entre la courbe et le point de contact du cercle générateur avec la base, est égale à aasin -u; le rayon de courbure de la cycloide est donc double de la normale.

Hayon de courbure de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logaiithuii(jue est

r=a^^\ on a, par conséquent,

dr d'r

rfë = '"'•• 79-' = '"''

et l'expression (503) du rayon de courbure devient

le rayon de courbure est par conséquent proportionnel au rayon, vecteur.

Détermination géométrique de quelques rayons de courbure.

505. La géométrie permet, dans un grand nombre de cas, de déterminer le rayon de courbure d'une courbe sans recourir aux formules précédentes. Il est souvent commode, pour cela, de recourir au théorème démontré (494), et de regarderie centre de courbure comme l'intersection de deux normales infiniment voisines. Nous donnerons quelques exemples de cette méthode.

Rayon de courbure de l'ellipse. — Soient F et F' les deux foyers d'une ellipse, et M le point de la courbe pour lequel pn veut déterminer le rayon de courbure.

La normale en M est la bissectrice de l'angle FMF'. Soit M' un point infiniment voisin de M, la normale en M' est la bissectrice de l'angle F'M'F; le point 0, intersection des deux normales, est le centre de courbure, et l'on a, en nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des deux normales,

, , MM'

Or, en désignant, pour abréger, par F et F' les angles de la figure qui ont leurs sommets aux points désignés par ces lettres, on a rigoureusement

et par conséquent

OU, ce qui revient au même,