Développée de la courbe représentée par l' équation
r =rt .
On déduit de cette équation:
dy dx~
dx^
\dx) -
Les coordonnées a, /3 du centre de courbure sont, par conséquent,
ri de même,
On en ((Miclul aisément
7) x-\-p=ix' -hy'T ,
(8) a — ^=ix'^ — r*)\
par conséquent,
L'élimination de x et Ae y entre ces équations et la proposée donne immédialemenl
I(a4-pr-f-(a — (3r]'+f(« + 3)'— {« — P)Vl'=4«'. c'est-à-dire
56i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si l'on change les axes des coordonnées en les faisant tourner de j autour de l'origine actuelle, cette équation se change en
«', p' désignant les coordonnées par rapport aux nouveaux axes; la forme de ce résultat montre évidemment que la courbe proposée est semblable à sa développée et de dimensions doubles.
On peut reconnaître aisément que la courbe dont nous venons d'obtenir la développée est une épicycloïde engendrée par un cercle roulant dans l'intérieur d'un autre cercle de rayon quadruple, et nous verrons que la propriété d'être semblable à sa développée convient à toutes les épicycloides.
529. Développée de la cycloide. — La connaissance du rayon de courbure de la cycloide en chacun de ses points permet de déterminer aisément sa développée.
Soient AMA' une cycloide, M un de ses points, et MI la position correspondante du cercle générateur. Le rayon de courbure étant(504) double de MI, si, au-dessous
de AA', on décrit un cercle égal au cercle générateur, et touchant AA' en 1, l'intersection M' de ce cercle avec MI prolongé est le centre de courbure, et le lieu des points M' est la développée. Soit S' le centre correspondant au sommet S, et situé évidemment sur la droite BB' parallèle à AA', et tangente au cercle 1 1'. Il est aisé de voir que ce cercle roulant sur BB' engendrerait précisément la développée S'M'A, si le point décrivant était d'abord placé en S'. En effet, en nommant B la projection du point A sur BB', on a
par conséquent
BS' = AC = I'M'I,
BI' = Al = arc IM = arc IM',
rS' = l'M'I — 1M' = 1'M',
ce qui montre que le point décrivant, d'abord placé en S', viendra par suite du roulement se placer en M', lorsque le cercle roulant aura son point de contact en I'.
La détermination analytique de la développée, en partant de l'équation de la
CYcloïde, est facile, et nous ne nous y arrêterons pas; nous nous bornerons à indiquer
un moyen élégant d'y parvenir à l'aide d'un système de coordonnées utilement
adopté pour la solution de quelques problèmes.
530. Une courbe, dans ce système, est caractérisée par la relation qui lie le rayon de courbure à l'angle formé par la normale avec une direction fixe. Le passage de telles équations à celles auxquelles nous sommes plus liabitués, exigerait la solution d'un problème de calcul intégral, que nous ne pouvons aborder ici. Bornons-nous à montrer immédiatement qu'une courbe est déterminée quand on connaît, pour cbaque direction de la normale, le rayon de courbure correspondant. Si l'on porte en effet son attention sur l'arc compris entre deux normales de directions données, on connaîtra, pour cbaque direction intermédiaire, la longueur de l'arc correspondant de la développée, et, pour déterminer celui-ci, il faudra résoudre le problème suivant : courl)er un fil de longueur connue, de telle façon que la direction de chaque élément soit assignée à l'avance. La solution est évidemment unique (juand on se donne l'origine, et les courbes relatives à des origines différentes sont superposables. La développée étant déterminée, la courbe primitive l'est également, car le rayon de courbure en cbaque point étant connu, on saura la longueur qu'il faut porter sur chaque tangente à la développée, pour avoir le point correspondant delà développante.
En nommant 'f l'angle formé par la normale à la eycloide avec la hase, et a le rayon du cercle générateur, l'expression du rayon de courbure est
p = 4''fOS(p,
l'angle de contingence de la développée cstrfff», l'arc infiniment petit correspondant est dp; le rayon de courbure p' de celle-ci est donc
dp d(f
= 4«sin 0.
D'ailleurs, en nommant 9' l'angle formé par la normale à la développée avec le même axe ,
et par conséquent
p' =4rtCOS9'.
La développée a donc la même équation que la eycloide et lui est par conséqueni égale.
531. Appliquons la même méthode à l'épicycloïde. D'après l'équalion trouvée (506)
pour le rayon de courbure de l'épicycloide, on voit aisément qu'en nommant o l'angle formé par la normale avec le rayon du cercle fixe dirigé vers l'origine de l'épicycloïde, on :i
p =^ a sin />« 9;
a et m étant des constantes, on en conclut que le rayon p' de la développée, toujours égal à ^ » est
p' := ma cosOTo,
et si l'on nomme 0' l'angle formé avec le même axe par la normale à la développée.
P' =: ma cos m [ 9'
ou en posant
m \ o == mo, ,
ce qui revient à faire tourner l'axe, de l'angle
p' = ma sin m 9,.
Pour déduire cette équation de la proposée, il suffit de multiplier par un facteur constant l'expression du rayon de courbure, et il est aisé de voir que c'est précisément ce qu'il faudrait faire pour obtenir l'équation d'une courbe semblable. La développée de l'épicycloide est donc une épicycloide semblable, le rapport de similitude est m, et l'angle formé par les lignes homologues dans les deux
figures,
532. Développée de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logarithmique en coordonnées polaires est
Le rayon de courbure a (504) pour expression
p = rte"'S/i+m^;
il en résulte, comme on le voit aisément, que le centre de courbure se trouve sur la perpendiculaire élevée par le pôle au rayon vecteur. Si donc r' et 0' sont les coordonnées du centre de courbure, on a
;•' = \/p' — /•»= mae"'^;
il en résulte
Si l'on faittourner l'axe polaire d'un angle égal à a, en nommant 5" l'angle formé par le rayon vecteur avec le nouvel axe polaire, on a
r z=mae ^ ' ' ,
et si l'on pose
me ^ = I ,
cette équation se réduit à
r':^ae""'",
é<|uation identique à celle de la courbe proposée. La développée d'une spirale logarithmique est donc, comme celle de la cycloide, superposahie à la courbe ellemême.
CONTACTS DK DIFFERENTS ORDRKS.
Définition de tordre du contact.
533. Lorsque deux courbes ont un point commun correspondant à une-abscisses, si leurs équations sont mises sous la forme
les ordonnées sont égales pour a: = a, et l'on a
9{a) = ij/(a).
Pour un |joint voisin du point commun, et ayant pour abscisse « n-//, les ordonnées sont différentes, leur différence ^ (a-i-A) — (]; (a-t-A) représente l'écartement des deux courbes; or on a, par le théorème deTaylor,
'^(a-(-/,)=<p(a)-i-A9'(«)+ -^ '/(«) + ... + , ./7,' .i ?"-'(«)-+- rrr-T ri'^ + Oli),
et par conséquent, en ayant égard à l'équation 9 (a) = <\>{a},
Lorsque f' (a) —41' (a) n'est pas nul, la différence des ordonnées est de même ordre que A, c'est-à-dire infiniment petite du premier ordre. Si f' (a) — '^' [a] est nul, la différence des ordonnées est infiniment petite du second ordre : en général, si pour x^a les /? premières dérivées de la fonction 9 sont égales aux dérivées correspondantes de t|/, la différence o(a + A)— t|i(a + /i) contiendra A^*' en facteur, et sera infiniment petite d'ordre p-\-\. On dit alors que les deux courbes ont un contact d'ordre/).
La tangente étant déterminée parla dérivée de l'ordonnée, et le rayon de courbure par les deux premières dérivées, on voit que deux courbes ont un contact du premier ordre quand elles ont même tangente, et un contact du second ordre lorsqu'elles ont en même temps même rayon de courbure.
534. L'ordre du contact de deux courbes est indépendant de la direction des axes des coordonnées, pourvu que l'axe des j ne soit pas parallèle à la tangente commune des deux courbes.
Soient en effet MS, MS' deux courbes rapportées aux axes OX, OY, et ayant en M un contact d'ordre/). MK étant l'ordonnée du point M, si l'on mène une parai-
lèle à l'axe des Y, par un point K' situé à une distance infiniment petite N du point K', la portion NN' de cette parallèle, comprise entre les deux courbes, est infiniment petite de même ordre que /t''"^'; les tangentes aux courbes considérées n'étant pas parallèles à l'axe des Y, h est de même ordre que chacun des arcs MN, MN', et par conséquent notre définition de l'ordre du contact revient à dire que deux courbes ont en M un contact d'ordre p, lorsque, prenant sur l'une d'elles, à partir de M, un arc de longueur g, la distance de l'extrémité de cet arc à l'autre courbe, comptée sur une parallèle à l'axe des Y, est de même ordre que o-'''^'. Or si l'on change la direction de l'axe des Y, a restant le même , la ligne NN' sera remplacée par une autre ligne NN" qui est de même ordre qu'elle, car elles font partie d'un triangle NN'N", dont les angles sont finis; l'ordre du contact évalué en adop-
LnUE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTBIQUES. S69
tant les nouveaux axes restera donc de l'ordre p, et la démonstration supposant seulement que les angles du triangle NN'N" aient une valeur finie, elle ne sera en défaut que si l'une des directions adoptées pour l'axe des Y est parallèle à la tangente commune des deux courbes, qui est la limite de N' N".
535. On peut montrer, indépendamment des considérations géométriques qui précèdent, que l'ordre du contact est indépendant de la direction des axes de coordonnées. Si, en effet, après avoir rapporté les deux courbes à des axes X, Y, on change de coordonnées, et que l'on adopte des axes nouveaux X', Y', les coordonnées nouvelles a;',j' seront des fonctions connues de a; et de j. Or les dérivées de j' par rapport ax' peuvent s'exprimer (173) en fonction de celles de j par rapportas;,
et l'expression de -r-^ ne contient pas de dérivées d'ordre plus élevé que«, et par
conséquent deux courbes, pour lesquelles l'ordonnée et ses n premières dérivées par rapport à l'abscisse ont les mêmes valeurs en un point, présenteront aussi le même caractère par rapport aux axes nouveaux.
Il est utile de remarquer que, dans le cas où le contact est d'ordre pair, la différence des ordonnées, étant proportionnelle à une puissance impaire de h, change de signe avec h. Il en résulte que chacune des courbes traverse l'autre en même temps qu'elle la touche, étant située au-dessus d'elle d'un côté du point de contact, et au-dessous de l'autre côté. Lorsque le contact est d'ordre impair, la différence des ordonnées a au contraire un signe invariable dans le voisinage du point de contact, et les deux courbes se touchent sans se pénétrer mutuellement.
536. On doit toujours exclure des considérations précédentes le cas où l'axe des j est parallèle à la tangente commune aux courbes considérées. Dans ce cas, les dérivées deviennent toutes infinies, et la règle qui fait dépendre l'ordre du contact du nombre de celles qui prennent la même valeur ne peut plus être appliquée. Le théorème relatif à l'ordre de la distance infiniment petite des deux courbes comptées sur une parallèle à l'axe des y ne doit pas non plus être appliqué, il conduirait à un résultat inexact. Nous allons chercher, d'une manière précise, quelle serait l'erreur commise en procédant à la manière ordinaire et sans se préoccuper des raisons pour lesquelles cette direction de l'axe des Y a été exclue dans le raisonnement.
Soient KM la tangente commune parallèle à l'axe des Y, et MK l'ordonnée de son point de contact M. Prenons sur l'axe des X une distance infiniment petite KK' = ^, t't cherchons, en supposant entre les courbes un contact de l'ordre n, (juci est l'ordre de grandeur de la ligne NN' interceptée entre les deux courbes sur l'ordonnée du point K'. Si l'on suppose que le point M ne soit pas un point singulier, et que la courbure ne soit ni nulle ni infinie, la corde MN fait avec l'axe des Y un
angle intiniineiit petit de même ordre que la longueur de la corde, le produit de
cette corde par le sinus de l'angle est égal à h, et par conséquent la corde et l'angle
sont l'un et l'autre de même ordre que hK Si donc par le point N on mène une
droite NN" parallèle à l'axe des X et terminée à la courbe MM', la longueur de cette droite est de même ordre que \h'^} ; mais dans le triangle NN'N", on a
NN''=::.NÎS'langNN'N%
et comme NN'N" est de même ordre que A', il faut que NN' soit d'ordre h'^, et par
conséquent l'ordre du contact serait considéré comme égal à i.
Un contact de quatrième ordre évalué de celte manière semblerait du premier ordre seulement.
On pourrait encore considérer comme infiniment petit du premier ordre l'arc MN,
et non pas sa projection sur l'axe des X; cet infiniment petit étant comparable à h'^, NN' est par rapport à lui de l'ordre n, et l'on doit dire, conformément à l'énoncé général (533), que les courbes ont un contact d'ordre n — i ; mais c'est assez insister sur les contradictions auxquelles peuvent conduire ces considérations que l'on doit absolument rejeter.
537. Pour évaluer l'ordre du contact de deux courbes, on peut d'ailleurs les rapporter à des coordonnées quelconques. Quel que soit le système adopté, on peut appliquer les mêmes considérations et prouver que deux courbes exprimées par des équations entre deux variables u et v, fonctions quelconques de x et de y, ont un contact de l'ordre n lorsque, pour une même valeur de u, v et ses n premières dérivées sont respectivement égaux pour l'une et l'autre courbe. On sait en effet que les dérivées de c par rapport à w, et celles de y par rapport à x, sont liées les unes aux autres, de telle sorte que, les unes étant connues, on peut calculer les autres sans introduire jamais de dérivées d'ordre supérieur à celles que l'on veut former. Lors donc que deux courbes ont un contact de l'ordre n, les valeurs de j et celles de ses n premières dérivées, étant égales dans les deux courbes pour une même valeur de x, il en sera de même de v et de ses dérivées pour la valeur correspondante de«; réciproquement, si les valeurs de v sont les mêmes de part et d'autre, ainsi que celles des n premières dérivées, y et les dérivées de y par rapport à x seront aussi les mêmes pour les deux courbes, et il y a contact de l'ordre n.
538. Tout ce que nous avons dit sur l'ordre de contact des courbes suppose la possibilité du développement en série des ordonnées voisines de l'ordonnée com-
inunc, et se trouve par conséquent soumis à des exceptions relatives au cas oii ce développement n'est pas possible. 11 peut arriver dans ces cas exceptionnels que deux courbes aient un contact d'ordre fractionnaire. Soient par exemple les courbes représentées par les équations
il est clair qu'à l'origine elles sont toutes deux tangentes à l'axe desr ; l'ordre de leur contact est inférieur d'une unité à l'ordre de grandeur d'une parallèle à l'axe des a; comprise entre les deux courbes et menée à une distance infiniment petite du premier ordre de l'origine; on verra facilement que cette parallèle est infiniment
petite de l'ordre |» en sorte que les deux courbes ont un contact de l'ordre ^•
Courbes osculatrices.
539. Lorsque l'équation d'une courbe contient un certain nombre de coefficients arbitraires, on peut se proposer de déterminer ces coeffîcients de manière à établir entre cette courbe et une courbe donnée, un contact d'un ordre aussi élevé que possible.
L'existence d'un contact de l'ordre n est exprimé par («+ i) équations, l'ordre de contact sera donc en général inférieur d'une unité au nombre des paramètres dont on dispose. La courbe ainsi déterminée par la condition d'avoir, en un point do'nné, le contact de l'ordre le plus élevé possible, est dite courbe osculatricc. Ainsi, par exemple, l'équation générale des sections coniques contenant cinq paramètres arbitraires, la section conique osculatricc d'une courbe, en un point donné, a avec elle un contact de quatrième ordre, le contact de la parabole osculatricc est de troisième ordre, et celui du cercle osculateur du second seulement. La droite osculatricc est la tangente; son contact est du premier ordre.
Cercle osculateur.
540. Le cercle osculateur d'une courbe ne diffère pas du cercle de courbure. Pour le démontrer, il suffira de chercher l'expression de son rayon. Soit
l'équation du cercle. Il doit avoir un point commun avec la courbe, et, en ce point, fournir les mêmes valeurs qu'elle pour -j- et t-^- Or l'équation (r) donne
par la différentiation
. , d^r fdr
Ces équations doivent être satisfaites, d'après ce que nous avons dit, en y considérant j, -T^î T^ comme déduits de l'équation de la courbe, et relatifs au point particulier que l'on considère. On en déduit
dx'
dxl ^ \dx) ^
dy
dx'
[-(êTL
Le cercle osculateur a par conséquent même rayon que le cercle de courbure, et se confond avec lui.
541 . On a vu (496 ) que le cercle de courbure d'une courbe la traverse au point où il la touche; nous aurions pu conclure immédiatement de cette remarque que son contact avec la courbe est (535) d'un ordre supérieur au premier, et qu'il est, par conséquent, le cercle osculateur.
L'identité du cercle de courbure avec le cercle osculateur peut aussi se conclure du résultat obtenu (521). Si sur une courbe, à partir d'un point quelconque M, on porte un arc infiniment petit MM' égal à a, la distance de l'extrémité M' au cercle de courbure en M est égale, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, à
elle est par conséquent infiniment petite du troisième ordre, et la courbe a (534) un contact du second ordre, avec ce cercle qui est par conséquent osculateur.
La distance du cercle à la courbe ne peut s'abaisser au quatrième ordre que si
dl
l'expression (i) est nulle, c'est-à-dire si l'on a -^=o. Cette condition est remplie pour les points où la courbure est maxima ou minima. En ces points, le contact de la courbe avec le cercle est, en général, du troisième ordre, et le cercle de courbure est, dans le voisinage de ces points, intérieur ou extérieur à la courbe que, dans ce cas, il ne traverse pas. Il pourrait arriver cependant qu'au
j ds
point où -T^ est nul, le terme du quatrième ordre disparût en même temps
dans l'expression de la distance de la courbe à son cercle osculateur; le contact étant alors du quatrième ordre, le cercle traverserait la courbe : il est aisé de voir que cela a lieu lorsque la dérivée de la courbure par rapport à l'arc est nulle, sans que celle-ci devienne maxima ou minima.
EXERCICES
1. Si des points d'une courbe plane on abaisse des perpendiculaires sur l'une des tangentes, et que par le pied de chacune d'elles on mène une droite proportionnelle à la longueur de celte perpendiculaire et parallèle à une direction fixe, le lieu des exlrémilés d'une telle droite est une courbe qui a même tangente que la proposée au point qui leur est commun. Trouver, en ce point, le rapport des rayons de courbure.
2. Si l'on mène par chaque point d'une courbe une droite de longueur donnée faisant un angle constant avec la normale, la normale à la courbe, lieu des extrémités de cette droiKs passe par le centre de courbure de la proposée.
3. Si l'on mène la tangente en un point d'une courbe représentée par l'équation
puis une série de cordes parallèles à cette tangente, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe, lieu des milieux de ces cordes, est au point où celte courbe coupe la ligne donnée
4. Le rayon de courbure de la développée d'une courbe est triple de la portion de normale à la développée, comprise entre son point de départ et son intersection avec la tangente au diamètre dont la direction a été définie dans l'exercice précédent.
5. Si l'on considère, sur une série de courbes parallèles, les points correspondants situés sur une même normale, les tangentes aux courbes diamétrales passant par ces différents points vont concourir en un môme point.
6. Si l'on nomme r le rayon vecteur mené d'un pôle fixe au point d'une courbe plane, el/> la distance de ce pAle à la tangente, lera.von de courbure p a pour expression
dr dp
7. Le lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée, et qui ont en un point donné un contact du second ordre avec une courbe donnée, est une hyperbole équilatère passant par ce point.
8. Le lieu des foyers des paraboles qui, en un point donné, ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, est im cercle. La courbe enveloppe des axes de ces mêmes paraboles est du quatrième degré; elle a trois points de rebroussement, et touche en trois points le cercle lieu des foyers.
9. Si d'un point 0 on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à une courbe plane, en nommant r la distance du point 0 à un point de celte courbe, p la longueur de la perpendiculaire abaissée sur la tangente, p le rayon de courbure de la courbe donnée, et p' celui de la courbe lieu des pieds des perpendiculaires, on a
-^1 — Pl.
fv
