C0SV

as

et par conséquent

Si l'on suppose s infiniment petit, l'angle V est (546) la moitié de l'angle de contin-

j- = 1 — cos V = a sm^ - \ , as 1

gence £, correspondant à l'arc *; 2sin^ - V peut être, par conséquent, remplacé

par 77 , c'est-à-dire, en nommant - la courbure géodésique en M, par 5— j» la dérivée

de la différence s — c sl donc pour partie principale 5—,» et par conséquent (549) la

partie principale de * — c est -7—,- Cette expression est, on le voit, toute semblable

à celle que nous avons trouvée pour les courbes planes, et montre par un nouvel exemple la parfaite analogie des deux théories. .

552. Différence entre un arc infiniment petit et la somme des tangentes menées à ses extrémités. — Soient AB l'arc considéré, et I l'intcrseotion des arcs de grand cercle qui le touchent en A et en B. , *

Evaluons d'abord l'excès de AI-t-IB sur la corde AB, en le réduisant toujours, bien entendu, à la partie principale.

Dans le triangle sphérique AIB, on a, en nommant A l'angle infiniment petit dont le sommet est en A,

sin - A =:^

/ sin -

(Al-HIB — AB)sin -(AB+BI — AI)

sin AB sin .\i

Remplaçons sin - \ par l'arc infiniment petit -A, et dans le second membre, réduisons chaque facteur infiniment petit à sa partie principale; sin - ( Al-h IH— AB) doit être remplacé par - ( AI + IB — AB), moitié de la différence que nous voulons évaluer, et sin - (AB-4-BI — AI) par - (AB-4-BI — Al), ou plus simplement par

-AB, car la différence BI — AI est infiniment petite du second ordre; sin AB et sin AI peuvent être remplacés de même par AB et Al, et l'on a