AB..\I

En nommant s l'arc AB, £ son angle de contingence, et - sa courbure géodésique

o8i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL

en A, on a

(roù^ron conclut

AI-)-lB — AB= *

pT ♦ • Ln rapprochant cette équation de celle précédemment obtenue,

on en déduit

Al + lB — i= — ,

résultat tout semblable à celui qui a été obtenu pour les courbes planes.

Théorie des développées sphériques .

553. La développée sphérique d'une courbe tracée sur la sphère est une courhr» tangente aux arcs de grand cercle qui coupent la première à angle droit; elle est l'enveloppe de ces arcs normaux, et par conséquent le lieu de leurs intersections successives, ou, ce qui revient au même, le lieu des centres de courbure sphérique de la courbe donnée, qui, par rapport à sa développée, porte le nom de dévelop- ^. pante. La développée d'une courbe sphérique fait connaître, en chaque point, la courbure de celle-ci, égale (545) à la tangente de l'angle correspondant à l'arc de grand cercle normal compris entre la courbe et le point oii il touche la développée; la longueur de l'arc de développée sphérique s'exprime d'ailleurs comme dans la théorie des courbes planes : il est égal à la différence des arcs de grand cercle compris entre ses extrémités et les points correspondants de la développante, et la démonstration est toute semblable, comme on va le voir, à celle que nous avons donnée ('22) pour les courbes planes.

554. Nous commencerons par établir quelques lemmes relatifs a la variation fie grandeur d'un arc de grand cercle. Lorsque l'une des extrémités d'un arc de grand cercle AB se déplace infiniment peu sur la sphère, la variation de longueur qui en résulte est égale au produit de l'arc infiniment petit qu'elle a parcouru par le cosinus de l'angle formé par la direction qu'elle a suivie avec celle de l'arc de grand cercle considéré.

Soient en effet AB un arc de grand cercle de longueur iinie, et BB' le déplacement infiniment petit de l'extrémité B; du point A comme pôle, avec AB' poui' rayon spliérique, décrivons un arc de petit cercle qui coupe AB en P. L'accroissement de longueur que reçoit AB en devenant AB', est PB, et l'on a, dans le triangle infiniment petit PAB', que l'on peut considérer comme rectiligne,

PB=BB'cosPBB'= — BB'cosK'BA, ^^ "

ce qui démontre la proposition énoncée.

Lorsque les deux extrémités de l'arc AB se déplacent en même temps, la variation de l'arc est la somme des variations qui résulteraient de chaque déplacement effectué séparément.

Supposons en effet que l'arc AB devienne A'B'; joignons A'B: on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

et par conséquent

A'B— AB=r — AA'cosA'AB, A'B— .\'B' = — BB'ro.sBB' V,

A' B'--AB = BB'cosBB' A' — AA'cosA'AB;.^

l'angle BB'A' diffère infiniment peu du supplément de B'B A, cl l'on a enfin, on négligeant toujours des infiniment petits du second ordre,

V B' - AB = — BB' cos B' BA — AA' COS A' AB = BB' ces ( BB', AB ) -H A A'cos( AA', BA ).

Lorsque l'arc de grand cercle est constamment normal à la courbe parcourue par une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité,

contenant en facteur le cosinus d'un angle droit, est égal à zéro, et l'accroissement infiniment petit de la longueur se réduit à un seul terme. Si l'arc considéré est normal à chaque instant aux deux courbes décrites par les extrémités, sa variation est constamment nulle, et il est par conséquent de longueur constante. Ainsi doncsi deux courbes spliériques coupent ortbogonalement une série continue d'arcs de grands cercles, situés d'une manière quelconque sur la sphère, les portions de ces arcs interceptées entre les deux courbes sont toutes égales entre elles.

Lorsqu'un arc de grand cercle, en se déplaçant sur la sphère, reste constamment tangent à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant en facteur le cosinus d'un angle nul, se réduit au déplacement lui-même, c'est-à-dire à l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle l'arc considéré reste tangent.

555. D'après les lemmes précédents, les raisonnements qui nous ont fait connaître (22) la longueur d'un arc de développée de courbe plane peuvent s'appliquer, mot pour mot, à la développée sphérique d'une courbe sphérique. Soient, en

effet, MN une courbe sphérique, et PQ sa développée. L'extrémité M de l'arc MP parcourant la développante, l'extrémité P se mouvant en même temps de manière à occuper le point correspondant de la développée, chaque accroissement infiniment petit de cet arc sera égal à l'arc correspondant de la développée, et l'accroissement total, lorsque de MP il devient NQ, est égal à l'arc PQ, comme on l'avait annoncé.

Courbure des trajectoires orthogonales sur la sphère.

556. Un système de courbes tracées sur la sphère, et se succédant suivant une loi continue, peut être représenté par une équation entre les deux coordonnées sphériques et un paramètre arbitraire. Pour "chaque valeur du paramètre, l'équation représente en effet une courbe déterminée qui se déplace et se déforme infiniment peu lorsque celui-ci reçoit un accroissement infiniment petit.

A un système de courbes sphériques en correspond toujours un second formé de lignes qui coupent les premières à angle droit; leur équation générale renfermera

aussi un paramètre arbitraire, et chaque point de la sphère pouvant être défini par les valeurs des paramètres correspondants aux courbes qui s'y croisent, ceu.\-ci forment un système de coordonnées curvilignes dont l'emploi peut être utile dans certains cas.

Nous allons étudier la loi de variation des courbures géodésiques de deux systèmes de courbes se coupant orthogonalement sur la sphère. Nommons a, le paramètre dont la valeur caractérise les courbes du premier système, et «j celui qui correspond au second système.

.Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du prcniicr syslème, correspondant aux valeursa,, «,+</«, du paramètre a, qui figure dans leur équation générale, et ce, DD' deux courbes infiniment voisines du second système, correspondant aux valeurs Kj, «2 + dcc.^ de leur paramètre, et formant avec les deux premiers un rectangle infiniment petit PRQS; le côté PR, distance de deux points

infiniment voisins qui (Correspondent à une même valeur de a, est évidemment proportionnel à da^, et le côté PQ à da,. Posons donc, en désignant par h, et Aj des fonctions (le ex, et de «j, que nous regarderons comme connues,

Le calcul de A, et de A, dans chaque cas particulier se fera d'ailleurs facilement, car en considérant les variables a, et «j comme formant un système de coordonnées, la distance d»; deux points infiniment voisins (|ue!con(|ues tels que P et S, qui correspondfînt aux coordonnées y.,, a.^, rj.^ -^drj., , %„ -^du,, est évidemment

, d(x\ dx\

ri il suffira par conséquent de calculer cette distance, comme il a été dit (123), pour < Dtinailre/», et A, que nous regardons tous deux comme essentiellement positifs.

La courbure de la ligne PQ est égale à l'angle de contingence formé par les arcs

de grand cercle tangents en P et Q, divisé par la luDgueur ds-i de cet arc PQ. Oj' on a.

d'après la notation adoptée,

, da,

Si donc on nomme £ l'angle do contingence, la courbure - est donnée par la for-

mule

il reste à calculer s: or cet angle est formé par les arcs de grand cercle normaux respectivement menés en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux à angle droit. Soit PI le premier de ces arcs, et I le point oii il coupe la courbe BB', la distance QI est infiniment petite du second ordre, et l'on peut, dans le calcul de l'angle s, remplacer le grand cercle normal en Q par le grand cercle normal en I, qui forme avec lui un angle infiniment petit du second ordre; s est, d'après cela, le complément de l'angle sous lequel le grand cercle PI coupe la courbe BB': or on sait (553) (jue si en cbaque point d'une courbe spbérique on élève un arc de grand cercle normal, et que l'on porte sur lui une longueur constante /, le lieu des extrémités coupe à angle droit tous ces grands cercles normaux à la courbe donnée; on en conclut que si la longueur / portée sur cbaque grand cercle varie d'un point à l'autre, un élément du de la courbe obtenue, dont les extrémités correspondent aux longueurs / et / ■+- dl, portées sur deux grands cercles voisins, formera,

avec les grands cercles, un angle dont le cosinus est -r : dans le cas de deux cour-

bes infiniment voisines qui nous occupe ici, l'élément d(j peut être remplacé par l'élément correspondant ds de la courbe AA' qui n'en diffère que d'un infiniment petit du second ordre, et l'angle infiniment petit =, que l'on peut remplacer par le cosinus de son complément, a pour expression -j~: /est ici la distance PI égale, nous l'avons dit, à -j-^, et dl est l'accroissement correspondant à lin cbangement infiniment petit de a.^; on a donc

la, (lot.,

Le dénominateur ds^ du quotient -1- est d'ailleurs l'arc infiniment petit de AA', correspondant à l'accroissement dv.^ du paramètre, et l'on a

, da..

par conséquent,

C= -r- ="t"<'ti — ï » *

as, a<x-.

on en conclut <^

^ E^ , , \h,/ h, djh

p, dx, dai h, d<z.

On trouverait (Je même

I I i hi h, dh,

p, dx, h-, doc,

Ces formules donnent au rayon de courbure un signe qui peut faire connaître le sens de la courbure; ia courbe PQ partage la sphère en deux régions: dans l'une, le paramètre «a est plus grand, et dans l'autre moindre que pour les points de PQ; la courbure est positive lorsque le grand cercle tangent PI est, dans le voisinage du point de contact, dans la première de ces deux régions, et elle est négative dans le cas contraire.