RR

c'est-à-dire

Rcos'cp + R'sin' 9

g7 cos* ? -I- - sin' ? ,

ce qui est précisément la relation obtenue (626).

641. Le cas où l'indicatrice est une hyperbole doit être examiné à part; il semble que la méthode ne s'applique qu'aux sections qui correspondent à des rayons vecteurs réels de l'indicatrice, et que pour étudier la courbure des autres sections» il soit nécessaire de considérer une seconde indicatrice déterminée par un plan situé de l'autre côté du plan tangent. Il n'en est rien cependant, et la considération d'une seule indicatrice peut fournir la courbure de toutes les sections sans exception. Remarquons, en effet, que les deux indicatrices situées de part et d'autre du plan tangent font des hyperboles conjuguées, et que par conséquent les rayons vecteurs réels de l'une s'obtiennent en multipliant par y'^ j les rayons imaginaires de l'autre, dirigés suivant le même diamètre. Or les rayons de courbure

étant proportionnels au carré du rayon de l'indicatrice, on peut tous les déduire d'une seule hyperbole en remarquant que les carrés des rayons imaginaires, étant négatifs, donnent précisément des rayons négatifs pour la section dont la courbure sera opposée à celle des sections dont le rayon est considéré comme positif.

Dans le cas où l'indicatrice est une hyperbole, il existe deux sections dont le rayon de courbure est infini, ce sont celles qui ont pour traces sur le plan tangent les asymptotes de l'indicatrice. Ces sections séparent celles qui sont courbées dans un sens, par rapport au plan tangent, de celles qui le sont en sens opposé; leur courbure étant nulle, elles sont situées à une distance infiniment petite du second ordre du plan tangent, et sont tangentes par conséquent à la courbe suivant laquelle ce plan coupe la surface.

Il peut sembler extraordinaire que ces sections, dont le rayon de courbure est infini, soient distinctes de celles dont le rayon de courbure est maximum; cela tient à ce que l'expression qu'on rend maxima ou minima est l'inverse du rayon de courbure, et que cette expression étant susceptible de signe, les valeurs négatives sont inférieures à zéro, et que, par suite, lorsque la courbure est nulle, elle n'est pas, analytiquement parlant, la moindre possible. Les courbures extrêmes sont la plus grande courbure absolue de la section dans l'uif et dans l'autre sens.

642. Il peut arriver que l'indicatrice soit du genre parabolique; mais comme, d'après la forme de son équation, elle est toujours une courbe à centre, elle se réduit dans ce cas à deux droites parallèles; la section de moindre courbure a alors un rayon de courbure infini, et l'autre qui lui est perpendiculaire a une courbure finie. Cette circonstance se présente ordinairement en des points exceptionnels: mais pour la cla.sse particulière des surfaces développables, l'indicatrice est partout parabolique, comme nous le montrerons plus loin.

Courbure d'une section oblique.

()i3. Soit OT une droite tangente à une surface en un point 0 ; menons par cette droite et par la normale ON à la surface un plan qui coupe la surface suivant une courbe ok, et un second plan faisant avec le premier un angle ô, et coupant la surface suivant une courbe ok'. Pour comparer les courbures des deux sections, prenons sur la ligne OT, qui évidemment est tangente à toutes deux, une longueur infiniment petite OAl, cl par le point M élevons dans le plan des deux courbes les perpendiculaires MI, MI', (jui foi ineront entre elles l'angle 0 mesurant l'inclinaison de CCS plans; la courbure de la première courbe est (498)

et celle de la seconde

2 MI'

MI

leur rapport est donc ^rj-p- Or le triangle MU' est à la limite rectangle en I,

car MI, parallèle à la normale en 0, est infiniment voisin de la normale en I à la surface, et H' est, à la limite, une tangente à cette surface; on a donc, puisque l'angle IMI' est égal à 6,

MI

j^ = COS0,

et par conséquent le rapport des deux courbures est cos 6. Le rayon de courbure d'une section oblique est donc, comme on l'a vu (629), égal au produit du rayon de courbure de la section normale correspondante, par le cosinus de l'angle formé par les plans des deux sections.

Tangentes conjuguées.

644. Deux tangentes parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice en un point M, portent le nom de tangentes conjuguées. Si l'on considère sur la surface un point M' infiniment voisin de M, l'intersection des plans tangents en M et en M' est, à la limite, la tangente conjuguée de MM'. Le plan de l'indicatrice qui passe par le point M' est parallèle, en effet, au plan tangent en M, et son intersection par le plan tangent en M', c'est-à-dire la tangente en M' à l'indicatrice, est parallèle à l'intersection des deux plans tangents. Mais cette tangente est parallèle aussi au diamètre conjugué de celui qui aboutit en M', et qui à la limite se confond avec la direction MM'; il est donc prouvé que la direction MM' et l'intersection des deux plans tangents sont parallèles, à la limite, à deux diamètres conjugués de l'indicatrice. ».

645. Considérons un cylindre circonscrit à une surface, et soit MM' un arc infiniment petit appartenant à la courbe de contact. La direction MM' est la direction conjuguée de la génératrice du cylindre en M. Les plans tangents à la surface en M et en M' sont, en effet, tangents en même temps au cylindre, leur intersection est donc à la limite la génératrice du cylindre qui par conséquent est une tangente conjuguée à la direction MM'.

La même relation existe d'ailleurs évidemment, et pour la même raison, entre la génératrice d'une surface développable quelconque circonscrite à une surface donnée, et la tangente à la courbe de contact.

EXERCICES

1. Lorsque deux surfaces se coupent, pour obtenir la courbure de la ligne d'inierscc-'' lion en un de ses points, on peut procéder de la manière suivante : mener par lé point* considéré deux pians respectivement tangents aux deux surfaces; chacun d'eux coupera l'antre surface suivant une courbe; si l'on porte sur la normale de chacune de ces courbes une longueur égale à sa courbure, la diagonale du parallélogramme construit sur ces lignes est dirigée suivant la normale principale de la courbe d'intersection dont elle mesure la courbure.

2. Deux surfaces étant tangentes l'une à l'autre en un poipl, connaissant la direction de leurs sections principales et la grandeur de leurs rayons de courbure, trouver les tangentes aux deux branches de leur courbe d'intersection.

3. Appliquer la méthode précédente à la recherche de la tangente de l'intersection d'un tore par un de ses plans tangents.

4. Si l'on mène par un point d'une surface n sections normales dont les plans successifs fassent un angle égal à — ' , la moyenne entre les courbures de ces sections est indépendante du nombre n et de l'orientation du premier plan.