DEMONSTRATION GEOMETRIQUE DES THEOREMES PRECEDENTS

Indicatrice.

638. Les théorèmes qui précèdent, et en particulier celui qui fait connaître la loi suivant laquelle varie la courbure des sections normales en un point d'une surface, peuvent se déduire facilement et se représenter avec élégance à l'aide (l'une courbe nommée indicatrice par M. Dupin, qui l'a considérée le premier.

L'indicatrice d'une surface en un point M de cette surface est la section faite à une distance infiniment petite du point M, par un plan parallèle au plan tangcnl en M: il faut observer seulement (|ue si la courbe d'intersection a des dimensions finies, comme cela a lieu pour les surfaces à courbures opposées qui sont traversées par leur plan tangent, on donne le nom d'indicatrice à la seule portion de la courbe d'intersection qui est située à une distance infiniment petite dn point M.

Nous commencerons par démontrer le lliéorènic suivant :

En un point quelconque d'une surface V indicatrice est une courbe du second degré.

Prenons pour axe des Z la normale à la surface au point considéré, et pour plan (les XY le plan tangent en ce point. Soit

l'équation de la surface par rapport à ces axes. Un plan parallèle au plan tangent aura pour équation z = A, et l'indicatrice, projetée en vraie grandeur sur le plan des XY, sera représentée par l'équation

xeiy étant infiniment petits pour tous les points de l'indicatrice: si l'on développe le second membre par le théorème de Maclaurin, on aura

R étant infiniment petit (276) par rapport aux termes qui le précèdent; d'ailleurs on a rigoureusement

puisque la surface passe par l'origine des coordonnées, et qu'elle est, en ce point, tangente au plan des XY; l'équation de l'indicatrice se réduit donc à

Soient œ'y' les coordonnées d'un point appartenant à une courbe semblable ayant pour centre de similitude l'origine, et m pour rapport de similitude, on aura

x' = nix , >•' = mj,

ini'\dx'jo m' \dxdfj.im'\df'j,' OU, en multipliant par m%

Supposons que m^ augmente en même temps que h diminue, et de telle sorte que m- h ait une limite finie k.x' et y' auront aussi alors des limites finies, etm-R

tendra vers zéro, puisque R est infiniment petit par rapport aux termes que la multiplication par m^ a rendus finis. On aura donc à la limite

-(^).-"r(âF).--'"(^).'

et la courbe semblable à l'indicatrice est une courbe du second degré, ayant pour centre l'origine des coordonnées.

639. L'indicatrice peut être une ellipse ou une hyperbole; ces deux cas correspondent à deux formes très-différentes que peut avoir la surface autour du point considéré.

Lorsque l'indicatrice est une ellipse, en changeant h en — h, et par suite k en —k, l'équation représente une courbe imaginaire, et par conséquent les plans conduits d'un seul côté du plan tangent la coupent suivant des courbes réelles. La surface est donc tout entière du même côté de son plan tangent, et la forme elliptique de la section infiniment petite faite par un plan voisin de ce plan tangent montre suffisamment qu'elle ressemble à un paraboloide elliptique dans le voisinage de son sommet.

Lorsque l'indicatrice est une hyperbole, si l'on change h en —h, et par suite k en ~k, la courbe représentée par l'équation (3) demeure réelle. Les plans parallèles au plan tangent coupent donc la surface de quelque côté qu'ils soient menés, et celle-ci est située de part et d'autre du plan tangent qui par conséquent est traversé par elle. Si l'on considère alors les diverses sections faites au point considéré par des plans normaux à la surface, ces sections seront les unes audessus du plan tangent, les autres au-dessous; les premières seront coupées par le plan parallèle au plan tangent mené de l'un des côtés de ce plan, et les autres par celui qui est mené de l'autre côté, en sorte que chaque indicatrice a des rayons vecteurs réels correspondant aux sections normales courbées de l'un des côtés duplan, et des rayons vecteurs imaginaires correspondant a celles qui ont une courbure opposée. On voit que si l'on considère à la fois les deux indicatrices qui correspondent à des sections faites de part et d'autre du plan tangent, les rayons vecteurs réels de l'une correspondent aux rayons imaginaires de l'autre, et réciproquement; c'est d'ailleurs ce que montre l'équation (3), car en y attribuant à A, et par suite à X-, deux valeurs égales et de signes contraires, on obtient deux hyperboles conjuguées ayant les mêmes asymptotes, mais situées dans des angles différents.

Loi de la courbure des sections normales.

640. Nous pouvons actuellement étudier la loi de variation de la courbure des sections normales d'une surface autour d'un point donné. SoientMce point, MZ la

CCS PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFI-^RENTIEL.

normale, ABA' l'indicatrice dont A et A' sont les sommets. Menons par la normale MZ un plan quelconque qui coupe la surface suivant la courbe MIH, le rayon

de courbure de cette courbe sera donné par la formule (498) 2R= rrrr' et comme OM

a la même valeur pour les diverses sections normales, le rayon de courbure est proportionnel au carré du rayon de l'indicatrice qui sert de trace au plan de la section considérée. On voit tout de suite, d'après cela, que les sections de plus grande et de moindre courbure ont pour traces les axes de l'indicatrice, et sont par conséquent perpendiculaires l'une à l'autre. De plus, la relation qui lie le rayon de courbure d'une section quelconque aux deux rayons maxima et minima, est la même que celle qui lie le carré du diamètre d'une section conique aux carrés des deux axes de la courbe; on aura donc, en nommant R etR' les rayons maxima et minima, et p le rayon correspondant à la section qui forme l'angle 9 avec la section dont le rayon est R',