COS(0,N

Pour calculer ce cosinus, remarquons que d'après les équations de la normale O, N, et en nommant, comme plus haut, X l'angle de cette normale avec l'axe desZ, les cosinus des angles qu'elle forme avec les trois axes sont, comme on l'a déjà dit f()50\ et en désignant par t? la distance infiniment petite 00,,

— ôcosX(/-cosa + «sin3t), — ô cos X(iCOsat-f- «sin a), cosX,

les cosinus des angles formés par 0,0 avecies mêmes axes sont

— cosa, — sin a et o;

on a, par conséquent,

w = COsOOiN = âcosX{rcos=a4-2«sin y. cosa-4-/sin'a),

>. étant infiniment petit, on peut, dans cette formule, et en négligeant seulement les infiniment petits du second ordre, remplacer cos X par l'unité. Si de plus on suppose les axes tellement choisis, que la dérivée s soit égale à zéro, on aura enfin

(3) w = o(rcos=a+/sin'a).

Le rapport - ne diffère pas de l'expression trouvée (627) pour la courbure de la

section faite dans la surface par le plan normal ZOO,. 11 est aisé de voir en effet que la projection de la normale enO, sur le plan ZOO,, est précisément la normale à la courbe d'intersection de ce plan avec la surface. L'angle w que cette normale fait avec OZ est donc la courbure totale de l'arc infiniment petit dont la longueur est(?,

et V représente la courbure. Nous aurions pu, d'après cela, nous dispenser de calculer l'angle w et écrire immédiatement l'équation (3), comme conséquence des formules relatives à la courbure des sections normales.

652. L'angle formé par la normale OZ au point 0, avec la normale au point infiniment voisin 0, , se déduit aisément des deux angles désignés par 5 et a, qui sont actuellement connus. Si, en effet, par un point de l'espace on mène trois droites respectivement parallèles à la normale OZ, à la normale 0,N, et à la projection deO,N sur le plan ZOO,, ces trois droites forment un trièdre rectangle auquel correspond un triangle sphérique rectangle infiniment petit, que l'on peut regarder comme rectiligne et dans lequel le carré de l'hypoténuse est égal, par conséquent, à la somme des carrés des deux autres côtés. Or l'hypoténuse mesure l'angle que nous cherchons, et les deux côtés représentent les angles désignés par 5 et w; on a, par conséquent, en nommant (j> l'angle des deux normales,

i|>' = 0' -I- co' = ô' ( /• cos' OL-\-t sin' «)' -\-[t — r)= ô» sin^ a ces' oc,

c'est-à-dire

ij;5 = ô2 ( r= ces' « -h /' sin= a ) :

telle est l'expression de l'angle (l' formé par deux normales infiniment voisines, les axes des X et des Y étant, on ne doit pas l'oublier, tangents aux sections principales.

653. Les dérivées du second ordre, r et /, sont liées aux rayons de courbure principaux par les relations fort simples

et les expressions trouvées pour les angles 5, w et ^j;, peuvent par conséquent être nmises sous la forme

^ /ces' a sin'a\

"^^^i-RT + nïr)'