La formule

». /cos' a sin'a\

donne le moyen de déterminer dans certains cas, d'une manière élégante, le produit des rayons de courbure d'une surface. On en déduit en effet le théorème suivant :

Si à partir d'un point 0 pris sur une surface dont les rayons de courbure sont R, et Rj, on porte sur la surface une longueur infiniment petite 00,, dans une direction qui forme avec la section principale à laquelle correspond le rayon R,, un

angle dont la tangente soit égale à i7jT^> l'angle 4- de la normale en 0, avec la normale en 0 est égal à , ' • Si l'on pose en effet

on en conclut

cosa =

v/lT,

sin « =

v^Ri-t-R.

et la formule (i) donne

655. Lorsque les rayons de courbure sont de signes contraires, le théorème précédent doit être modifié, la valeur choisie pour tang a serait, en effet, dans ce cas imaginaire; on devra poser

tanga=Y/=^%

v/JÏ

cos a:

sm a = , 5

et par suite

,,.,[ Ri R. "I

"^ -° LR;(H.-«W R^(R,-R,)J

656. La direction qui correspond à l'angle défini dans les deux paragraphes précédents est la diagonale du rectangle construit sur les axes de l'indicatrice, lorsque celle-ci est elliptique, et celle d'une asymptote dans le cas où, les rayons de courbure étant de signes contraires, l'indicatrice est hyperbolique.

Nous appliquerons la remarque précédente, qui est due à M. 0. Bonnet, à la recherche de la loi suivant laquelle varie le produit des courbures principales le long de la génératrice d'une surface gauche. En un point quelconque d'une telle sujface, la génératrice rectiligne est dirigée suivant l'asymptote de la section indicatrice. Si donc, à partir d'un point M situé sur une génératrice, on porte sur cette droite une longueur infiniment petite MM', l'angle formé par les normales aux

points M et M', divisé par la distance MM', don/iera la valeur cherchée de \/v^-

V "i Rs

On a vu (102) que la tangente de l'angle formé par le plan tangent d'une surface gauche avec un plan fixe passant par la génératrice qui contient son point de contact est proportionnelle à la distance de ce point de contact à un point fixe de la génératrice; en désignant cet angle par (p, et par z la distance OM du point de contact M au point fixe 0, on a

tang9^Gz,

G restant constant sur une même génératrice, on en conclut"

(p =arc tang Gz, Gdz

</cp ^

et par conséquent

</z"~Vr,R, i4-G'z''

z désignant la distance du point considéré k un point fixe convenablement choisi sur la génératrice.

657. Il n'est pas sans intérêt de nous arrêter à la formule précédente pour définir géométriquement la position du point 0, qui sert d'origine à la longueur désignée par :;, et la constante G relative à chaque génératrice.

Soient AB, A'B' deux génératrices infiniment voisines d'une surface gauche.

00' leur plus courte distance. Par le point 0' menons une parallèle O'C à OM. Soit M un point quelconque de AB. Par ce point M abaissons une perpendiculaire MP sur la ligne O'C, qui évidemment sera perpendiculaire aussi au plan CO'B'; du point P, abaissons une perpendiculaire PM' sur O'B', MM' est, en vertu d'un théorème connu) perpendiculaire à O'B'. D'ailleurs les points M et M' étant infinin)ent voisins, la ligne MM' est située dans le plan tangent en M', qui, passant aussi par la génératrice, est la limite du plan O'M'M. L'angle de ce plan avec le plan fixe B'O'C a évidemment pour mesure l'angle en M' du triangle rectangle MPM', et l'on a, en désignant par 9 le complément de cet angle,

tang<p=jgp-.

On a d'ailleurs, en nommant i l'angle des deux génératrices infiniment voisines,

PM' = 0'M'. lange; ,

on en conclut, en remplaçant tang e par l'arc infiniment petit i,

lang9=^.0'M',

rlp est le rapport de l'angle de deux génératrices infiniment voisines à leur plus

courte distance; ce rapport est constant pour une môme génératrice, il est la représentation de la quantité désignée par G, dans le paragraphe précédent, O'M' est la distance désignée para; et l'on voit que le point fixe 0, dont l'existence a été démontrée (102), est, sur chaque génératrice, le point où se mesure

sa plus courte distance avec la génératrice voisine. La constante G est le rapport de l'angle de deux génératrices à leur plus courte distance. Lorsque, pour toutes les génératrices d'une surface réglée, G est infini, la surface (103) est développable. Le produit des rayons de courbure est alors infini, et l'un d'eux étant par suite infini, l'indicatrice se réduit à deux droites parallèles.

658. Les formules qui précèdent comprennent implicitement toutes les propriétés générales des normales à une surface dans le voisinage d'un point donné. Parmi les conséquences que l'on en peut déduire, nous nous bornerons à signaler le théorème suivant qui a été donné par Sturm :

Toutes les normales à une surface dans le voisinage du point 0 peuvent être considérées comme rencontrant deux droites fixes perpendiculaires l'une à l'autre, et menées par les centres de courbure des deux sections principales dans les plans de ces sections perpendiculairement à la normale au point 0.

Il suffit évidemment, pour démontrer ce théorème, de chercher l'intersection d'une normale quelconque avec les plans des sections et de constater que ces intersections se trouvent sur les lignes indiquées, lorsque l'on néglige, bien entendu, les infiniment petits du second ordre.

Prenons pour axes des coordonnées la normale au point 0 et les tangentes aux deux sections principales. Soient x' , y', z' les coordonnées du point 0'; z' étant infiniment petit du second ordre peut être considéré comme nul; S,, -ri, Ç étant les coordonnées courantes de la normale en 0', les équations de cette ligne sont

l — x'-{-{rx' + sy')'Q=^o, et comme à cause du choix particulier des axes on a * — o, elles se réduisent à

^ — x' -\- rx' Cy =^ o , ■/î— / -i-(r'?=o;

pour avoir l'intersection avec le plan des ZX, il faut faire /j = o, on en déduit

l'intersection est donc située sur une parallèle à l'axe des X, menée à la distance --,

et passant par conséquent par le centre de courbure de la section ZOX. On verra

de même que le plan ZOY est rencontré par la même normale, sur une parallèle à

l'axe des Y, menée par le centre de courbure de la section principale qu'il détermine.

Sturm a déduit de son théorème une remarque curieuse. Si autour d'un point

d'une surface on trace une courbe fermée infiniment petite 1, les normales à la surface issues des points de cette courbe forment une surface réglée dont la génératrice est assujettie à rencontrer la courbe 1 et les deux droites que nous venons de déterminer. Si, par exemple, la courbe 1 a la forme d'un cercle, l'équation de la surface est très-facUe à obtenir, et l'on peut constater que les sections parallèles au plan du cercle sont des ellipses qui, pour deux positions particulières, se réduisent aux droites directrices. Ce résultat, rapproché du théorème que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant, peut être mis en évidence par une ingénieuse et très-simple expérience que nous indiquerons plus loin. v

659. Nous terminerons ce chapitre par la démonstration de deux théorèmes importants relatifs à la théorie des droites normales à une même surface.

Si des rayons de lumière normaux à une même surface quittent un milieu homogène pour pénétrer dans un autre milieu également homogène, en se réfractant suivant la loi de Descartes, quelle que soit la surface de séparation des deux milieux, ils seront encore, après leur réfraction, normaux à une même surface.

Soient œ, y, z les coordonnées d'un point 0 de la surface qui sépare les deux milieux, a, |3, y les angles formés par le rayon incident avec les axes des coordonnées, a', |S', y' les angles formés avec les mêmes axes par le rayon réfracté, /la longueur qui sépare, sur le rayon incident, le pointa:, y, z où il rencontre la surface de séparation, du pointa;,, y^, z, où il perce la surface à laquelle sont normaux, par hypothèse, tous les rayons incidents. Soit enfin /' une longueur portée sur le rayon réfracté à partir de la surface de séparation des deux milieux, il s'agit de prouver que l'on peut déterminer cette longueur /', dfe telle sorte que la surface décrite par son extrémité soit normale à tous les rayons réfractés.

En nommant ajj.ja, z^, les coordonnées de l'extrémité de la longueur /', on a

X, =x-|-/cosa, j, =/-}-/ cos|3, z, =z-l-/cosy,

X, = JT H- /' cos «', j,=j-f-/'cos(3', z, = z-|-/'cosy',

on déduit de ces équations

dx,=:dx-\-cosxdl-{-ldcosct, rfj,=<//-(-cos(3<//-+-Wcosp, dz,=idz-hcosydl+ldcosy,

dx,=dx-i-cos»'dl'-hl'dcosx', rf/,=ûfj+cos ^'dl'-hl'dcosP', dz,=dz-hcosy'dl'-\-l'dcos •/'.

Ajoutons les trois premières équations (a) après les avoir respectivement multipliées par ces a, cos ^, cos y, et les trois autres, multipliées respectivement par cos «', cos |3', cos y', nous aurons

dx,cosx-hdr, cos|3-4-</z, cos y = dl + dx cos x -h dycos^ -^- dz cos y, (3)

dx, cos «' -h dy, cos (5' -+- dz, cos y' = dl'-\-dx cos «' + dy cos ^' ■+■ dz cos / ,

la surface, lieu des points a;,, y,, z,, étant normale à la droite qui forme avec les

axes les angles a, /3, 7, on a

( 4 ) dx, ces a+ dy, cos |3 + dzt ces y = o ,

la première équation se réduit donc à

(5) o =:^ dl -{- cos xdx -h cos ^df-\-cosy dz,

dx, dy, dz, sont les projections sur les axes de coordonnées d'un déplacement arbitraire effectué sur la surface de séparation des deux milieux. Soient rf* ce déplacement, et X, |u., V les angles qu'il forme avec les axes; on a

dx = ds cos X, dy^ ds cos u , dz^= ds cos v,

et par conséquent l'équation (5) devient

(6) o=dl-\-ds{ cos X cos l + cos [3 cos p. -+- cos y cos v ) ,

ou, en nommant V l'angle formé par la direction du rayon incident avec celle du déplacement cfe,

(7) o = «?/+(/« cos V.

Considérons actuellement le trièdre ayant pour arêtes le rayon incident, la normale à la surface de séparation, et le déplacement c/>, en nommant I l'angle du rayon incident avec la normale, et 12 le dièdre qui, dans le trièdre considéré, a pour arête la normale, on a

cos V = sin i cos Q. , .

et l'équation (7) devient, par conséquent,

(8) o ^dl-\-dssinicosil.

En nommant i' l'angle formé par le rayon réfracté avec la normale, et remarquant que, d'après la loi de Descartes, les deux rayons sont dans un même plan avec cette normale, on verra de même que la seconde équation (3) devient

(9) cosx'dx,-hcos^'dy2-hcosy' dzi=^ dl' -h ds sin i' cos Q:

en nommant rl'indice de réfraction, on a

(10) . sin «'= r sin i,

et par conséquent, si l'on prend /' = ri, on aura dl' = rdl, le second membre de (9) sera nul en vertu de l'équation (8), et l'on aura

o = cos a' dx^ -+- cos (3' dy, -\- cos y' dz^ ,

ce qui prouve que la surface lieu des points dont les coordonnées sont J^j, ja, So, est normale au rayon réfracté. Pour obtenir cette surface, il faut, d'après l'équation l'=rl, porter sur chaque rayon réfracté, à partir de la surface de séparation, une longueur égale au produit de l'indice de réfraction, par celle que l'on doit porter sur le rayon incident correspondant pour obtenir un point de la surface normale aux rayons incidents; il est clair, d'ailleurs, que la longueur /' peut de même que / être augmentée ou diminuée d'une constante, et que l'on obtiendra ainsi des surfaces parallèles.

660. D'après le théorème précédent, des rayons lumineux homogènes émanés d'un même point, et normaux par conséquent à des sphères concentriques, pourront traverser différents milieux séparés les uns des autres par des surfaces quelconques, lisseront toujours, après chaque réfraction, normaux à une même surface. C'est ici le lieu d'indiquer l'expérience fort simple qui peut, ainsi que nous l'avons dit (658), servir de vérification au théorème deSturm, démontré dans ce paragraphe.

Il suffit de faire passer dans une chambre noire, à travers un très-petit trou percé dans un écran, un faisceau de lumière homogène qui tombe sur un sphéroïde de verre ou sur une petite fiole contenant un liquide et offrant une surface courbe irrégulière, dont on recouvre la partie postérieure avec un papier percé d'un petit trou d'une forme arbitraire. Les rayons qui sortent par cette ouverture, après être entrés par celle de l'écran, peuvent être considérés, à cause de la petitesse de celle-ci, comme émanant d'un simple point; en recevant le faisceau émergent sur un papier blanc, qu'on éloignera graduellement, on reconnaîtra la forme des différentes sections, et particulièrement deux petits traits lumineux plus ou moins distants l'un de l'autre, et dont les directions sont perpendiculaires entre elles.

661 . Lorsque les droites d'un faisceau sont tangentes à une même surface, la condition nécessaire pour qu'elles soient en même temps normales à une autre surface, prend une forme très-élégante; il faut et il suffit qu'elles soient tangentes à une série de lignes géodésiques tracées sur la surface, ou, ce qui revient au même (631), à des lignes dont le plan osculateur soit normal en chaque point à la surface sur laquelle elles sont situées.

Remanjuons d'abord que si les droites d'un faisceau sont tangentes à une nunic surface, et qu'il en passe une par chaque point, il existe nécessairement sur la surface une série de courbes auxquelles les droites con.sidérées sont tangentes. A chaque point de la surface correspond en effet, par hypothèse, une droite du faisceau située dans le plan tangent; or il est clair que le mouvement d'un point serait déterminé s'il était assujetti à se mouvoir sur la surface en partant d'un point donné et se dirigeant toujours, dans chacune de ses positions, tangentiellement à la droite qui y correspond. La courbe ainsi parcourue a pour tangente en chaque point une

688 PREfflÈRE PARTIE. -CALCUL DIFFÉRENTIEL.

des droites du faisceau, et comme le point initial est arbitraire, il passe une telle courbe, ainsi que nous l'avons annoncé, par chaque point de la surface donnée. Cela posé, soit

l'équation de cette surface; nommons X, Y, Z les cosinus des angles formés avec les axes par la droite du faisceau qui touche cette surface au point dont les coordonnées sont X, y, z: la condition nécessaire pour qu'il existe une surface normale à toutes les droites du faisceau est (648) que, en ayant égard à la relation (i), la somme

(2) Xdx-hYdy-hldz

soit la différentielle d'une certaine fonction de x et de j. Or on a

(3) dz =pdx ->rqdj;

et de plus, comme la direction définie par les cosinus X, Y, Z est dans le plan tangent,

l'expression (a) devient par conséquent

(5) {X-^pZ)dx-h{Y + qZ}dr.

La condition, pour qu'elle soit une différentielle et qu'il existe par conséquent une surface normale aux droites du faisceau, est

c'est-à-dire, à cause de l'équation.

rf(X

dy

pl)

d(\ + dx

qZ)

uati

jn.

dPdy

dx

d\ dy

dZ dy-

d\ ' dx

Tx'

les dérivées étant prises, bien entendu, après que X, Y, Z ont été exprimés en fonction des seules variables x &\.y.

On a

X'4-Y'-f-Z'= ., par conséquent

^àX dX dZ

dx dx dx

-, rfX ,, d\ , dZ dy dy dy

l'équation (7) devient par suite

r, d\ f^dX ^rtl\\ „dX UdX ^.dY

Remplaçant Z par/?X + qY, et remarquant qu'en indiquant par des parenthèses les dérivées partielles prises avant d'avoir remplacé ;: par sa valeur en x et y, on a

dX dx

ldX\ ldX\ dz ' \dx ) \ dz j dx '

dX dy-

ldX\ fdX\ dz '\dyj \dz ) dy '

dx ~

(dY\ ■fdY\ dz -[dxj~^ [dzJ dy'

dY dy-

(dY\ /dY\ dz [dy)-^[dz)dy'

T^ et ^ ayant été désignés par p et q, en ayant égard à ces équations, la condition (8) devient

r^rfX ^,dX , ^ ^.dXl [^dY ^dY , ^ ^rdYl

en nommant ds l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle la droite considérée est tangente, on a

«4 ds ds

et par conséquent

dX dX dX dXdx dX dy clX (h <tX

^d^'^^ ^ + (/''^ + ?'' ) tlz - dx ds~^ dy ds '^ dz ds- ds

de même

dx dy dz ds

'équation (9) équivaut donc à

dX dY

= 1' ds'

ou

dX ds

dY ds

on a

ailleurs

et par

conséquent

^ d\ ^dY , „d'L

on conclut de (lo)

^dX^^dY d\

ds ds ds

pX + qY p

c'est-à-dire, à cause defi i),

2 dV. dX ds ds

donc enfin

dX dY dZ

ds ds ds

ce qui prouve que la direction qui fait avec les axes les angles dont les cosinus sont proportionnels à />, q, — i , coïncide avec celle qui fait des angles dont les cosinus

sont proportionnels à -^, -j- » -j-' ; la première de ces directions est celle de la

normale à la surface I, et la seconde, celle de la normale principale à la courbe S. Pour que ces deux directions coïncident, il faut et il suffit que le plan osculateur de la courbe 2 soit normal en chaque point à la surface S.

662. Le même théorème peut se démontrer géométriquement de la manière suivante: pour que les droites d'un faisceau soient normales a une même surface, il faut et il suffit (649) que chacune d'elles soit rencontrée par deux autres infiniment voisines et situées dans des plans perpendiculaires l'un à l'autre, et passant par la droite considérée. Considérons, dans le cas qui nous occupe, l'une quelconque D des droites du faisceau et la ligne géodésique 1 à laquelle elle est tangente : l'une des droites infiniment voisines du faisceau qui rencontre la ligne D est évidemment la tangente infiniment voisine de 2, et le plan qui les contient toutes deux est (563) le plan osculateur de cette courbe; toutes les droites du faisceau étant tangentes à la surface désignée par S, soient A le point de contact de D, et A' celui de la seconde droite infiniment voisine, qui, faisant partie du faisceau, rencontre la droite D; la ligne AA' esta la limite tangente à la surface S dont le plan DAA' est par conséquent le plan tangent; l'un des deux plans qui passent par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est donc osculateur à une ligne géodésique de S, et l'autre tangent à cette surface ; il en résulte (631) qu'ils sont perpendiculaires l'un à l'autre.

L'étude de la démonstration précédente peut donner lieu à une difficulté à laquelle il est nécessaire de répondre. Le raisonnement par lequel nous prouvons que le plan passant par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est tangent à la surface S, semble applicable aux deux droites du faisceau qui ren-

contrent D, et l'on pourrait en conclure que les deux plans qui contiennent les droites, loin d'être perpendiculaires l'un à l'autre, comme nous l'affirmons, se réduisent au contraire à un seul. Cette contradiction tient à ce que la proposition sur laquelle le raisonnement est l'onde présente un cas d'exception relatif précisément à l'une des deux droites qui rencontrent D. On admet en eflet que le plan passant par la droite qui touche la surfact; S en A, et par un point A' infiniment voisin de A, est tangent à la surface S, parce qu'il contient deux droites tangentes à cette surface, la droite D elle-même et la ligne AA' qui en réunit deux points infiniment voisins. Or il y a évidemment exception lorsque ces deux droites se confondent, c'est-à-dire lorsque le point A' est situé sur une courbe tangente à la droite D; dans ce cas, le raisonnement général est en défaut, et le plan qui passe par le point A' et par la droite D est le plan osculateur de la courbe AA'.

EKERCICES.

1. Quelle que soit la loi suivant laquelle se succèdent dans l'espace des droites telles, qu'il en parle une de chaque point de l'espace, soient AN celle qui part d'un point A, et AB, AC deux lignes infiniment petites perpendiculaires entre elles et à AN, les angles respectivement formés parla droite issue du point B avec le plan NAB, cl par la droite issue de C avec NAC, ont une différence constante.

2. La plus courte distance des normales menées à une surface, par deux points infiniment voisins A et B, est égale au produit de la dislance AB par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec la direction conjuguée sur la surface.

3. Si AB, AC sont deux directions conjuguées en un point A d'une surface', et que A, A' désignent les distances du point A aux points où sont menées les plus courtes distances

dtf la normale en A avec les normales en B et en C, la somme -^ + j; est constante et

égale à la somme des courbures principales delà surface.

4. Supposons que des rayons lumineux, d'abord normaux à une surface S, éprouvent une suite de réfractions. Désignons par /r la portion d'un rayon comprise dans le premier milieu, et la surface qui sépare le premier milieu du second, par /' la partie de ce rayon comprise dans le second milieu, par /"la partie comprise dans le troisième milieu, et ainsi de suite, puis par /r» la portion de ce rayon comprise dans le dernier milieu, entre la dernière surface séparatrice et l'une des surfaces auxquelles les rayons deviennent normaux dans le dernier milieu; on aura

a^- l rt, /' -(- a, /" -H . . . 4- aj. = consl. ,

a, a , a, étant des constantes dépendant des indices de réfraction des divers milieux.