MC=-(MO
691. Lorsque la surface développable considérée est cylindrique, les lignes de courbure sont les sections droites du cylindre, et celui des deux rayons qui n'est pas infini reste constant sur une même génératrice.
Les lignes de courbure d'une surface conique sont les intersections du cône par des sphères ayant pour centre le sommet.
692. La propriété d'avoir en chaque point un rayon de courbure infini est caractéristique des surfaces développables. Si en effet le rayon relatif aux lignes de l'un des systèmes est infini, les normales menées à la surface par les points de cette
ligne sont parallèles; les plans tangents correspondants sont donc aussi parallèles, et se réduisent par conséquent à un seul, car une surface ne peut évidemment pas toucher une série continue de plans parallèles entre eux. La surface étant touchée par un môme plan tout le long d'une ligne de courbure est l'enveloppe des positions d'un plan dans l'équation duquel ne figure qu'un paramètre variable, et est, par conséquent, une surface développable.
693. Le même théorème peut se démontrer analytiquement d'une manière tort simple. Pour que l'un des rayons de courbure de la surface soit infini, il faut (pif l'équation du second degré trouvée (634) ait une racine infinie, et pour cela la condition nécessaire et suffisante est
(i) rl — s'=o;
en posant
dz dz
CD a, comme on sait.
~^ dx dy dy dx
L'équation (i) équivaut par conséquent à
dp dq , , dx dx
dy dy
et elle exprime (73) qu'il existe entre les fonctions/) et q une relation
L'équation générale du plan tangent étant
c'est-à-dire
(3) l = p\ + qT,-\-z-px—i\y,
la surface cherchée est l'enveloppe des positions de ce plan. Or on peut démontrer que l'équation (3) ne contient qu'un seul paramètre variable y. On a en elTel, comme on vient de le démontrer,
7âO PREMIÈRE PARTIE. -CALCUL DIFFÉRENTIEL
Si donc q est constant, p est constant aussi; p et'y étant constants, l'expression
z — px — qy est aussi constante: elle a en effet pour différentielle
dz — pdx — q dy — x dp — y dq ;
ov on a, puisque /j et q sont constants,
dp =z o , dq ^ o ,
et d'ailleurs,
dz = p dx -+- q dy.
Les coefiicients de l'équation (3) sont donc constants pour chaque valeur donnée
à q, la surface cherchée est par conséquent l'enveloppe d'un plan dont l'équation ne
contient qu'un seul paramètre variable; c'est par conséquent une surface déve-
loppable.
694. Surface enveloppe d'une sphère. — Lorsque l'équation d'une sphère mohile contient un seul paramètre variable, le centre de cette sphère parcourt une courbe déterminée, et à chacune de ses positions correspond une valeur déterminée du rayon: la surface enveloppée est le lieu des intersections de chaque sphère avec la sphère infiniment voisine; cette intersection est un cercle suivant lequel la sphère enveloppée touche la surface, et qui, évidemment, est une ligne de courbure. Les normales à la surface menées par les points de ce cercle sont en effet normales à une même sphère au centre de laquelle elles se rencontrent; le rayon de courbure correspondant estle rayon même de la sphère au centre de laquelle vont concourir deux normales infiniment voisines. La surface enveloppe d'une sphère a donc pour lignes de courbure de l'un des systèmes, des cercles, et le rayon de courbure correspondant à l'un de ces cercles est égal à celui de la sphère inscrite dont il est la ligne de contact.
695. La réciproque du théorème précédent est exacte : une surface qui admet un système de lignes de courbure circulaires est l'enveloppe d'une sphère mobile dont Te centre parcourt une ligne donnée.
Une ligne de courbure circulaire étant nécessairement plane, son plan coupe en effet (678) la surface sous un angle constant. Les normales à la surface menées par les différents points de cette ligne forment donc un cône de révolution, et la sphère décrite du sommet de ce cône comme centre, avec la distance au cercle pour rayon, touche évidemment la surface en chaque point du cercle qui leur est commun. A chaque ligne de courbure correspond donc une sphère inscrite dont cette ligne est le cercle de contact, et la surface est l'enveloppe de ces sphères.
696. Sur/aces canaux .—Lorsqae le rayon de la sphère enveloppée est constant, la surface enveloppe porte le nom de surface canal. D'après ce qui précède, l'un des rayons de courbure d'une surface canal est constant.
Réciproquement, toute surface dont un rayon de courbure est constant est l'enveloppe des positions d'une sphère mobile de rayon constant.
Si, en effet, l'un des rayons de courbure est constant, pour obtenir la ligne enveloppée par les normales menées aux différents points d'une ligne de courbure, à laquelle correspond ce rayon, il faut, sur chaque normale, porter une longueur constante; la courbe ainsi obtenue appartient (101) à une surface parallèle à la surface donnée, et coupe par conséquent à angle droit les normales do celle-ci; mais d'un autre côté elle doit être l'enveloppe de ces normales, et par conséquent leur être tangente. Les deux conditions étant incompatibles, la courbe ne peut exister et doit se réduire à un point; les normales aux différents points d'une même ligne de courbure vont donc concourir en un même point dont la distance à la surface est égale au rayon de courbure constant; une sphère décrite de ce point comme centre contiendra par conséquent la ligne de courbure et touchera la surface en tous les points de cette ligne : il existe une telle sphère pour chaque ligne de courbure, elles ont toutes pour rayon le rayon de courbure constant de la surface qui est, par conséquent, l'enveloppe d'une sphère de rayon constant.
697. On peut trouver analytiquement les surfaces dont un rayon de courbure est constant.
Soient X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale à la surface avec les
axes de coordonnées. On a, en nommant j, le rayon de courbure constant de la si/rface,
le signe de différcntiation se rapportant, comme on sait (637), à un déplacement infiniment petit effectué sur la ligne de courbure. On déduit de ces équations
X — RX = a,
(2) r-RY = (3,
s— RZ=y,
a, p, 7 restant tous trois constants lorsqu'on reste sur une même ligne de courbure, et pouvant par conséquent s'exprimer tous trois en fonction d'un même paramètre. On en conclut qu'il existe deux équations entre ces trois quantités, cl si l'on pose
dZ I
dx~R'
dy-R'
dz ~R
on aura
x — RX = cf{z-RZ), j— RY = <^(2 — RZ). L'équation
combinée avec les équations (2), donne
(3) (x-«)' + (j— (3)'+(2— yr=RS
et, pour chaque valeur de 7, cette équation représente une sphère du rayon R, sur laquelle se trouve la ligne de courbure correspondante; de plus, les équations (2) , pouvant s'écrire
elles prouvent que la normale à la surface en chaque point de cette ligne de courbure coïncide avec le rayon de la sphère qui forme évidemment avec les axes des angles dont les cosinus sont représentés par les seconds membres des équations (4). La sphère (3) touche par conséquent, tout le long de la ligne de courbure, la surface cherchée, qui est par suite l'enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant dont le centre parcourt une courbe arbitraire.
(J98. Surface dont toutes les lignes de courbure sont circulaires, — Pour que les lignes de courbure de l'un des systèmes soient des cercles, il faut ( 695) que la surface soit l'enveloppe d'une sphère mobile dont l'équation ne contienne qu'un seul paramètre arbitraire. Il en résulte évidemment qu'une surface dont toutes les lignes de courbure sont des cercles peut être considérée de deux manières différentes comme l'enveloppe des positions d'une sphère mobile, les sphères du premier système touchant la surface suivant une série de cercles, et celles du second système suivant d'autres cercles perpendiculaires aux premiers. Or, il est clair que chaque sphère appartenant à l'un des modes de génération est tangente à toutes celles de l'autre système; considérons en effet deux sphères quelconques correspondant à des cercles de systèmes différents qui se coupent à angle droit; les deux sphères passent par le point commun aux deux cercles et ont en ce point même plan tangent, puisque toutes deux touchent la même surface. Si par conséquent on considère trois sphères du premier système, toutes les sphères du second système les touchent toutes trois, et comme la condition d'être tangente à trois sphères fixes détermine complètement les positions successives d'une sphère mobile, s'il existe une surface dont
toutes les lignes de courbure soient circulaires, elle est l'enveloppe des positions d'une sphère tangente à trois autres.
Réciproquement : la surface enveloppe des sphères tangentes à trois sphères données a toutes ses lignes de courbure circulaires. La surface ainsi définie étant l'enveloppe d'une sphère dont l'équation ne contient évidemment qu'un seul paramètre, les lignes de courbure de l'un des systèmes sont (694) des cercles; pour prouver que les lignes de courbure du second système sont également circulaires, M. Dupin a fait voir que la surface peut, d'une autre manière, être considérée comme l'enveloppe d'une sphère mobile. Nous ne reproduirons pas ici cette élégante démonstration, et nous nous bornerons à montrer, d'après M. Mannhoim. (jue la surface en question, nommée surface cyclique, peut toujours être considérée comme la transformée par rayons vecteurs réciproques d'un tore. Les lignes de courbure du tore étant circulaires, et celles de la surface transformée pouvant s'en déduire (683) a l'aide de la transformation qui transforme toujours les cercles en d'autres cercles, seront elles-mêmes circulaires.
Quel que soit le pôle de transformation, la transformée d'une sphère est une sphère. Si donc on considère trois sphères fixes, et une série d'autres sphères qui les touchent toutes trois, la figure transformée se composera de trois sphères transformées des trois sphères fixes et d'une série de sphères les touchant toutes trois Or on peut toujours choisir le pôle de transformation de telle sorte que les sphères transformées des trois sphères fixes aient leurs centres en ligne droite; il suffit pour cela de prendre pour pôle un point situé dans le plan qui contient les centres des trois sphères et sur la circonférence du cercle qui, dans ce plan, coupe orthogonalement les trois grands cercles. Cette circonférence passant par le pôle sera transformée en une ligne droite, et comme la transformation n'altère pas les angles, les trois sphères transformées seront coupées orthogonalement par une même ligne droite qui doit pour cela passer par leurs trois centres.
Il est bien évident d'ailleurs que trois cercles étant donnés dans un plan, il en existe toujours un quatrième qui les coupe tous trois à angles droits, et qui a pour centre le point duquel on peut leur mener trois tangentes égales. La surface cyclique que nous étudions peut, d'après ce qui précède, avoir pour transformée la surface enveloppe des sphères tangentes à trois sphères fixes dont les centres sont en ligne droite. Or, en coupant les trois sphères fixes par un plan passant par leur ligne des centres, on obtiendra trois cercles; l'un quelconque des cercles qui les toucheiil tous trois est le grand cercle d'une sphère tangente aux trois proposées. Cclle-d obtenue, on peut évidemment la faire tourner autour de la ligne des centres des trois sphères fixes, qu'elle touchera constamment dans toutes ses positions. La surface enveloppe de cette si)lière mobile est évidemment un tore, et toute surface à lignes de courbures circulaires est par conséquent la transformée par rayons vcileurs réciproques d'un tore.
72 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
699. Surface dont les deux rayons de courbure sont constants. — Lorsque l'un des rayons de courbure est constant, la surface est (696) une surface canal, enveloppe d'une sphère de rayon égal à ce rayon constant; les surfaces dont les deux rayons de courbure sont constants sont par conséquent des surfaces canaux dont le second rayon de courbure est constant.
^.,îw , ^IRSWIP
Soit AOO'B la courbe lieu des centres des spbères inscrites dans une surface canal, et OM, O'M' deux cercles infiniment voisins qui sont des lignes de courbure du premier système. Soit MM' un arc de la ligne de courbure du second système; les normales en M et M' à la surface sont évidemment MO, M'O, et vont se rencontrer en un point C situé sur la droite d'intersection des plans des deux cercles; or lorsque le point M parcourt le cercle sur lequel il est situé, le point C décrivant une ligne droite, il est impossible que OC, et par suite MC, soit constant: le rayon de courbure du second système varie donc successivement d'un point à l'autre, et il ne peut y avoir d'exception que si la courbe AOO'B se réduit à un point, auquel cas la surface canal est une sphère.
700 . Surfaces dont les lignes de courbure se confondent avec les sections noimales principales. — Lorsqu'une ligne de courbure est plane, son plan (678) coupe la surface sous un angle constant. Nous voulons ici examiner particulièrement le cas où toutes les lignes de courbure de l'un des systèmes étant planes, leurs plans coupent la surface sous un angle droit. Les lignes de courbure du second système sont évidemment, dans ce cas, normales aux plans qui contiennent les ligues du premier système, et par conséquent la surface peut être engendrée de la manière suivante : donnons-nous la surface développable enveloppée par les plans des lignes de courbure du premier système, et dans l'un de ces plans choisissons arbitrairement la ligne de courbure qui s'y trouve située. La surface sera entièrement déterminée, car les lignes de courbure du second système coupant à angles droits la série con-
tinue des plans tangents à la surface développable, chacune d'elles est déterminée par un de ses points; il en partira une de chaque point de la ligne de courbure du premier système que l'on s'est donné, et leur ensemble formera la surface.
La surface développable enveloppée par les plans des lignes de courbure, et la forme de cette ligne dans un des plans, sont d'ailleurs entièrement arbitraires. H est évident en effet que la surface engendrée par une série de lignes normales aux plans que l'on s'est données, est elle-même coupée normalement par tous ces plans qui, par conséquent (678), par leur intersection avec la surface, déterminent des lignes de courbure.
Pour réaliser la génération de la surface, il suffit évidemment de faire rouler le plan tangent qui contient la ligne de courbure que l'on s'est donnée, sur la surface développable donnée, de manière à le faire tourner à chaque instant autour de la génératrice de contact. Le mouvement de chacun de ses points est alors dirigé à chaque instant suivant la normale au plan mobile, et les différents points de la ligne de courbure du premier système que l'on s'est donnée engendrent les lignes du second système dont l'ensemble forme la surface demandée. On voit que les lignes de courbure du premier système sont les positions successives d'une seule et même ligne qui se meut avec le plan dans lequel elle est située, et ces lignes sont par conséquent superposables.
701. Toutes les normales de la surAice que nous venons de définir sont évidemment tangentes à la surface développable enveloppe des plans des lignes de courbure. Réciproquement, toute surface dont les normales sont tangentes à une surface développable admet un système de lignes de courbure planes, dont les plans la coupent normalement et sont tangents à la surface développable. Supposons, en effet, que toutes les normales d'une surface soient tangentes à une même surfaci' développable: toutes celles dont le point de contact appartient à une même génératrice de la surface développable sont évidemment situées dans le plan tangent le long de cette génératrice, elles se rencontrent donc deux à deux et correspondent par conséquent à une ligne de courbure évidemment située dans ce plan, qui coupe la surface normalement, puisqu'il contient la normale en chaque point de la courbe d'intersection.
702. Examinons en particulier les surfaces dont les normales sont tangentes a un cylindre. Une telle surface est engendrée, d'après ce qui précède, par une courbe plane de forme invariable, dont le plan roule sans glisser sur la surface du cylindre, en restant par conséquent parallèle à la direction de ses génératrices. Les positions successives de cette courbe plane sont les. lignes de courbure du premier système; quant aux lignes de courbure du second système, elles coupent norma-
7â6 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
lement les plans tangents du cylindre; leur tangente reste par conséquent parallèle au plan de la section droite du cylindre, et il en résulte que ces lignes sont planes et situées dans de.s plans parallèles.
703. La réciproque du théorème précédent est exacte; lorsque les lignes de courbure de l'un des systèmes sont planes et situées dans des plans parallèles, les normales à la surface sont tangentes à un même cylindre, et les ligues de courbure du second système sont situées dans des plans tangents à ce cylindre.
Soient en effet A, A', A", les lignes de courbure d'une surface, qui, par hypothèse, sont planes et situées dans des plans parallèles. Soit B une ligne de courbure du second système rencontrant les premières en a, a', a",...; ses plans tangents menés à la surface par les différents points d'une ligne de courbure enveloppant une surface développable dont les génératrices, qui sont les intersections de deux plans voisins, sont les tangentes conjuguées (644) de celles de la ligne de courbure auxquelles elles sont par conséquent perpendiculaires ; les tangentes aux lignes A, A , A", menées par les points a, a', a", forment donc une surface développable dont les génératrices sont situées dans les plans de ces lignes qui, par hypothèse, sont parallèles, et comme deux génératrices consécutives doivent être dans un m^0 ^ même plan, elles sont nécessairement parallèles, et la surface développable qu'elles
H^ *^ forment est un cylindre. La courbe B, suivant laquelle ce cylindre touche la surface
Hv ^ donnée, étant ligne de courbure de la surface, est aussi ligne de courbure du cylindre,
et par conséquent une de ses sections droites, dont le plan est évidemment normal en chaque point à la surface cherchée à laquelle le cylindre est circonscrit. Les lignes de courbure B sont donc planes, et leurs plans coupent la surface à angle droit.
704. Le même théorème peut aisément se démontrer analytiquement. Prenons pour axe des Z une parallèle aux plans des lignes de courbure du premier système; en nommant x, y, z les coordonnées d'un point de l'une de ces lignes, et X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale avec les trois axes, on a (637)
flx dy dz ^ '■' d\~ d\~ dZ~ '
R élant le rayon de courbure correspondant à la ligne considérée, et les différentielles se rapportant à un déplacement effectué sur cette ligne. Le plan de la ligne de courbure étant parallèle à l'axe des Z, on a, entre a; et j, une relation de la forme
(2) Y—o'.x-i-':ii,
«£ et /3 étant deux constances. •■ ^
On déduit (le ( a)
dy =!X(lx, et par suite
dY = ccd\;
on en conclut que pour tous les points d'une même ligne de courbure, la différence Y — aX est constante; cette constante pouvant d'ailleurs varier d'une ligne de courbure à l'autre, désignons-la par y (P); nous aurons
(3) Y-aX = 9(i3);
en indiquant par â les variations correspondantes aux lignes de courbure du second système, on a (636)
(4) dfôq-hdxdp = o, et par suite, à cause de
on a
-jT- = « !
dq
on en conclut
y restant constant pour une même ligne de courbure du second système; mais on
)/i-i-p'-\-q' '^i-\-p'-hq' s/i+p^-hq'
cl l'équation ( 5 ) peut s'écrire
(7) X + aY-t-yZ = o; on en déduit
(8) 3X4-aôY4-yôZ = o,
et comme âx, ây, âz sont proportionnels à (?X, c?Y, âZ,
(()) dx-{-»dy+yàz=o,
et par conséquent
(lo) X -^-ax-{-YZ = h;
h restant constant ainsi que a et 7 pour tous les points d'une même ligne de courbure du second système; l'équation (10) représente un plan. Quelles que soient les valeurs de 7 et de h, le plan est perpendiculaire à ceux des lignes de courbure du premier système dont l'équation est
y = ctx-h^.
705. Surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes. — Plusieurs géonielresonl
étudié les surfaces dont les lignes de courbure sont planes; nous nous bornerons à
démontrer ici les résultats les plus simples auxquels ils sont parvenus.
Lorsqu'une ligne de courbure est plane (678), les normales à la surface menées par les différents points forment avec son plan un angle constant. Si donc par le centre d'une spbère on mène des parallèles à ces normales, elles formeront un cône de révolution et couperont la sphère suivant un cercle dont le plan est parallèle à celui de la ligne de courbure.
Si toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, celles qui leur correspondent sur la sphère dont nous avons parlé, formeront deux séries de cercles, et ces cercles se couperont à angles droits. Soit en effet M un point de la surface où se croisent deux lignes de courbure MA et MB ; considérons la normale MN en M, et les normales infiniment voisines AO et BO', menées par les points A et B situés sur les deux lignes de courbure, à distance infiniment petite de M; les deux plans OAM, O'B'M, sont perpendiculaires l'un à l'autre: or, enmenant par le centre d'une sphère trois rayons CM,, CA,, CB,, parallèles à OM, OA, O'B, les plans. CMA, CMB sont parallèles à OAM, O'BM, et par conséquent perpendiculaires entre eux, en sorte que les lignes M, A, , M, B, , qui, sur la sphère, correspondent à deux lignes de courbure de la surface, sont perpendiculaires l'une à l'autre.
Pour savoir comment sont situés dans l'espace les plans des lignes de courbure de la surface cherchée, il suffit de chercher comment peuvent être situées sur une sphère deux séries de cercles tels, que chacun coupe à angle droit tous ceux qui appartiennent à une série différente. Nous allons prouver que les plans de tous les cercles d'un même système doivent, pour cela, avoir une droite commune. '
On sait en effet qu'un cercle étant tracé sur une sphère, toute tangente h la sphère menée par un de ses points, et coupant le cercle à angle droit, est une génératiice du cône circonscrit à la sphère le long du cercle donné. Si donc un cercle C coupe à angles droits deux cercles différents C, et C^, deux tangentes de ce cercle C sont des génératrices de cônes circonscrits à la sphère suivant C, etCj. Le plan du cercle C passe donc par la droite qui joint les sommets des cônes circonscrits à la sphère suivant deux cercles quelconques de l'autre système, et ces cercles sont par conséquent les cercles de contact des cônes circonscrits ayant leurs sommets sur une même droite; on sait que leurs plans passent par une même droite perpendiculaire à la première.
Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, leurs plans sont parallèles h ceux de deux systèmes de cercles se coupant perpendiculairement sur la sphère; ils sont donc parallèles respectivement à deux lignes droites perpendiculaires l'une à l'autre.
706. On peut obtenir facilement l'équation différentielle des surfaces dont toutes les ligues de courbure sont planes.
Soit AA' la droite à laquelle sont parallèles les plans des lignes de courbure de
l'un des systèmes, et par laquelle passent tous les plans des cercles qui leur corres-
pondent sur une sphère dont le centre est en 0; choisissons trois axes de coordonnées OX, OY, OZ, dont l'un, OY, soit parallèle à AA', et dont l'autre, OZ, perce cette ligne en son milieu C : en nommant m la distance OC, l'un des cercles qui passent par A A' a pour équations
ar»-f-,r'-|-Z':
