V. étant un paramètre variable : on déduit de ces équations

dy

dz

''^ytc^'Tx^'''

d'où, en éliminant -t-5 (2)

dx

x'-Jr xf-j- + z {z— m) =o.

En supposant le rayon de la sphère égal à l'unité, x, y, z étant les coordonnées de l'extrémité d'un rayon parallèle à la normale de la surface, 6n a

l'équation (a) devient par conséquent

P^ -^ pq -T- -^ ^ -^ m ^i-hp'-tq' — o :

on en conclut

dx pq

La tangente de la ligne de courbure est parallèle, en chaque point, k celle du

'Il dx

cercle qui la représente sur la sphère; on peut donc porter cette valeur de '-y-

dans l'équation différentielle des lignes de courbure

et l'on trouve ainsi l'équation différentielle

R/' + S5H-T/ = o, en faisant, pour abréger,

\^=pq[in{\ + q^)~ y/T+^Ml^],

S = 'wM' + g')\/i+/'' + 7' — 2m{i +/;»)(! + g') + (!+/)') s/i -H p' + çS- T = pqin [i +p'--m ^T+Y+q'] .

UVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 73i