OK + KM<OK + KM

mais la somme OK + KM' est la distance OM', égale par hypothèse à OM, et par conséquent il résulterait des suppositions qui ont été faites, que

OK-f-KM<OM,

résultat absurde, puisque OM est, par hypothèse, la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface entre les points 0 et M.

7Î2. La démonstration précédente suppose que les lignes géodésiques considérées soient les plus courtes que l'on puisse tracer entre leurs points extrêmes; elle ne s'étend pas par conséquent à toutes les lignes dont le plan osculateur est en chaque point normal à la surface. Le théorème est cependant exact pour de telles lignés. Nous le démontrerons en établissant d'abord un théorème plus général : si par les points d'une courbe quelconque tracée sur une surface, on élève des lignes géodésiques perpendiculaires à cette courbe, et que sur chacune d'elles on porte une longueur fixe quelconque, le lieu des extrémités de ces longueurs coupe perpendiculairement toutes les lignes géodésiques. Soient AM, A'M' deux lignes géodésiques égales, qui soient l'une et l'autre les plus courtes que l'on puisse mener entre leurs extrémités. Supposons que les angles en A et en A' soient droits, il faut prouver qu'il en est de même des angles en M et en M'.

Joignons le point M au point A' par une ligne géodésique : l'angle MAA' étant droit, la ligne AA' est tangente à la courbe lieu des extrémités des longueurs égales à MA, portées sur les lignes géodésiques issues du point M; si donc AA' est infiniment petit du premier ordre, la différence MA' — MA est du second ordre, et à cause de l'égalité supposée entre AM et A'M', A'M et A'M' ont la même différence infiniment petite du second ordre; si donc on porte sur les lignes géodésiques issues de A' des longueurs égales à A'M', le lieu de leurs extrémités qui, d'après le théorème précédent, est normal à A'M', sera tangent à M'M, qui par conséquent coupe A'M' sous un angle droit.

Cette démonstration suppose, comme la précédente, que les lignes géodésiques considérées soient les plus courtes entre leurs deux extrémités; mais en réunissant les deux théorèmes on démontre aisément qu'il est permis de supprimer cette condition. Si en effet on porte normalement à une courbe une longueur constante sur

des lignes géodésiques issues de ses différents points, le théorème leur est applicable pourvu que leur longueur soit suffisamment petite, et l'on obtiendra une nouvelle courbe coupée orthogonalement par les lignes géodésiques normales à la première; à partir des points de cette nouvelle courbe, on pourra encore porter sur les mêmes lignes géodésiques prolongées une longueur constante assez petite pour que le lieu des extrémités forme une troisième courbe coupant les mêmes lignes à angle droit; en continuant ainsi, on finira par porter sur chaque ligne une longueur aussi grande que l'on voudra, en démontrant que le lieu des extrémités coupe toujours à angle droit les lignes géodésiques sur lesquelles la longueur portée à partir de l'origine peut croître sans limite.

Les lignes géodésiques normales à une même courbe peuvent évidemment être remplacées par des lignes issues d'un même point, et la démonstration se fera absolument de la même manière.

Si l'on considère sur une surface une série de lignes géodésiques, et une seconde série de courbes coupant celles-ci à angle droit, les portions de deux lignes géodésiques quelconques comprises entre deux trajectoires orthogonales sont égales entre elles. Ce théorème est une conséquence évidente du précédent, dont il peut être considéré comme la réciproque.

713. On peut déduire du théorème précédent une conséquence importante relative à la forme de l'expression du carré de la distance de deux points infiniment voisins. Si les points d'une surface sont définis par deux coordonnées u et t', telles que les courbes qui correspondent à des valeurs constantes de f soient des lignes géodésiques, et que celles qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent les premières à angle droit, le carré de la distance de deux points infiniment voisins aura ( 124) une expression de la forme

(t) ds' = \du'-hlidv'; ,

mais d'après le théorème précédent, deux trajectoires des lignes géodésiques interceptent sur ces diverses lignes des arcs de même longueur. Si donc on suppose (/^'=o, c'est-à-dire si l'arc ds appartient à une des lignes géodésiques, la valeur de ds^ ne dépendra que de u et de du, et A est par conséquent fonclion de la seule variable u. Soit u' une fonction de u telle que

(2) du' = du\lk;

si l'on substitue la variable u' à la variable u, ce qui ne change évidemment pas les deux systèmes de lignes correspondant aux valeurs constantes des coordonnées, l'expression (i) devient

(3) * di> = du''-\rGdv\

G représentant ce que devient B lorsqu'on l'exprime en fonction de m' et de v. Si l'un suppose f/t' = o, on a

ds:=l/ll',

et l'on en conclut que u' est la longueur portée sur une ligne géodésique, à partir d'une trajectoire orthogonale déterminée que l'équation (2) laisse arbitraire, puisqu'elle permet d'ajouter une constante à cette coordonnée.

Cuurhure géodésique.

714. La courbure d'une ligne plane fait connaître la plus ou moins grande rapidité de l'écart entre cette courbent sa tangente. Si en un point M la tangente est MT, et que M' soit un point infiniment voisin de M pris sur la courbe considérée,

et M'P la distance de ce point M' à la tangente, la courbure - est donnée par la formule

^' MM'

de sorte que, pour une même longueur infiniment petite MM', la courbure est proportionnelle à la distance M'P de la courbe à la tangente. Euler a considéré la courbure d'une ligne tracée sur une sphère, et nous avons montré (550) qu'elle est proportionnelle à la distance de la courbe à l'arc de grand cercle qui la touche. On peut de même considérer pour une courbe tracée sur une surface quelconque un élément analogue, auquel M. Liouville a donné le nom très-expressif de courbure géodésique.

Soit AMB une courbe tracée sur une surface donnée, MT la ligne géodésique qui la touche au point M, M' un point infiniment voisin de M pris sur la ligne AM, et M'P la distance de ce point à MT; le rapport

MM'

est, par définition, la courbure géodésique de la courbe AMB au point M. L'ana-

logie avec la courbure d'une ligne plane est évidente et justifie suffisamment la

similitude des dénominations. Nous verrons d'ailleurs que l'analogie s'étend beaucoup plus loin encore, et qu'on peut la suivre dans l'étude de toutes les questions relatives aux courbes tracées sur les surfaces.

715. La courbure géodcsique peut être représentée par plusieurs expressions utiles à connaître, et qui pourraient chacune être prises comme définition. La courbure géodésique d'un arc infiniment petit est égale à l'angle formé par les deux lignes géodésiques tangentes aux extrémités de cet arc, divisé par la longueur de l'arc.

Soit MM' l'arc considéré ; MI, M'I les lignes géodésiques tangentes à ses extrémités ; MM' la ligne géodésique qui réunit le point M au point M', et que l'on peut nommer corde géodésique.

Cette corde ne diffère de l'arc MM' que d'un infiniment petit du troisième ordre; elles ont en effet la même corde rectiligne dont la différence avec chacun des deux arcs est (19) infiniment petite du troisième ordre. On peut donc substituer l'un de ces arcs à l'autre sans altérer la limite du rapport dans lequel ils figurent; d'un autre côté, le triangle IMM' étant formé par trois lignes géodésiques, la somme de ses angles est égale à deux angles droits (710), et l'angle extérieur I peut être considéré comme égal à la somme des angles en M et en M'; on a donc