MM' "" MM' ^ MM

mais les lignes géodésiques MP, MM' se coupant sous l'angle infiniment petit M, on a (709)

M'P = M.MM', et par conséquent

MM'

; est, par définition, la moitié de la courbure géodésique en M; on verra de

MM'

M' même que r^rp est la moitié de la courbure géodésique en M' qui, évidemment,

diffère infiniment peu de la première, et l'équation (i) montre par conséquent

que 1^, représente, comme nous l'avions annoncé, la courbure géodésique.

716. La courbure géodésique d'une courbe en un point est égale à la courbure I. 93

(le la projection de la courbe sur le plan tangent de la surface au point considéré. Considérons l'arc infiniment petit MM' tracé sur la surface donnée, et la ligne géodésique MT qui la touche en M; soit M'P la distance du point M' à la ligne MT.

Projetons le tiiangle MM'P sur le plan tangent à la surface en M; les projections de MM' et deMP sont deux courbes tangentes l'une à l'autre; celle de AIP, ayant (708) un rayon de courbure infini, peut être considérée comme une ligne droite. Soit MM"P' la projection de MM'P; les côtés de l'angle MPM' formant des angles infiniment petits avec le plan sur lequel on les projette, cet angle diffère infiniment peu de sa projection; l'angle MP'M" peut donc être regardé comme droit, et la courbure de la ligne MM" est par conséquent

2 MM

Mais les lignes M'P, MM', infiniment peu inclinées sur le plan tangent en M, peuvent être considérées comme égales à leurs projections sur ce plan; l'expression ( i ) qui représente la courbure de la ligne plane MM" est donc égale à

2ÎMM'

c'est-à-dire (714) à la courbure géodésique de MM'.

717. Soit - la courbure absolue de la ligne MM' considérée comme courbe

donnée dans l'espace, et indépendamment de la surface qui la contient; nommons 6 l'angle formé par le plan osculateur de cette ligne avec le plan tangent de la surface en M, la courbure géodésique a pour expression

ces 9

Si l'on nomme, en effet, e l'angle de contingence formé par les tangentes aux points

M et M', la courbure - est égale à j^, -, si l'on projette MM' sur le plan tangent

en M, on obtient l'arc MM" que l'on peut regarder comme égal à MM', et en nommant s' l'angle de contingence de MM", la courbure de MM" égale (716) à la cour-

bure géodésique de MM' a pour mesure j^rp > ou, ce qui revient au même, j^-

Le rapport de la courbure - à la courburç géodésique de MM' est donc représenté

•par '-, -, pour l'évaluer, menons par le point M une parallèle MT, à la tangente

en M': elle formera avec la tangenteMT l'angle de contingence e; le planT,MT est (563) le plan osculateur de MM' et forme l'angle 0 avec le plan tangent en M qu'il coupe suivant MT, z est évidemment la projection de s sur le plan tangent, et ces deux angles appartiennent à un trièdre rectangle dans lequel s est opposé à l'angle droit; on a donc

lane s

ces 6

et, comme s et s' sont infiniment petits.

cosO

Le rapport - est, nous l'avons dit, le rapport de la courbure - à la courbure géodé-

cos 9

sique, qui par conséquent est égale, ainsi qu'on l'a annoncé, à

Il n'est pas inutile de faire remarquer qu'une même courbe, étant située sur une infinité de surfaces différentes dont elle est l'intersection commune, a sur cbacune d'elles une courbure géodésique spéciale qui peut varier depuis zéro jusqu'à la

courbure absolue - qui est sa valeur maxima. Cette limite est atteinte lorsque le

plan osculateur de la courbe est tangent à la surface sur laquelle on la considère comme tracée.

718. La courbure géodésique peut encore être considérée sous un autre point de vue auquel se plaçaient plusieurs géomètres allemands qui l'ont nommée courbure de développement.

Remarquons d'abord que la courbure géodésique d'une ligne tracée sur une surface dévolopj)al)le est égale à la courbure de la ligne plane dans laquelle elle se transforme quand on développe la surface sur un plan. Le développement de la surface n'altérant pas en effet les longueurs des lignes tracées sur elle, les lignes géodésiqucs d'une telle surface ont pour transformées des lignes droites, et la ligne géodé-

sique tangente en un point de la courbe considérée se transforme dans le développement en une droite tangente au point correspondant de la courbe transformée; l'écartement entre la courbe et la ligne géodésique qui la toucbe est donc le même qu'entre la transformée et sa tangente, et l'on en conclut (714) l'égalité des deux courbures que nous comparons. ;,;

Cela posé, circonscrivons à la surface sur laquelle est tracée une ligne donnée, une surface développable qui la toucbe suivant cette ligne, et qui est évidemment l'enveloppe des plans tangents menés en ses différents points; la courbure géodésique de la ligne est la même, soit qu'on la considère comme tracée sur la surface donnée ou • sur la surface développable, parce que le plan tangent étant le même pour les deux surfaces, la courbure dont l'expression a été trouvée au paragraphe précédent a la même valeur dans les deux cas. Si donc on développe la surface développable sur un plan, la ligne considérée aura une transformée plane dont la courbure sera précisément égale à la courbure géodésique, dont le nom de courbure de développement se trouve ainsi justifié.

719. La considération de courbure géodésique intervient utilement dans l'étude des lignes tracées sur une surface: la suit» de ce cbapitre en montrera toute l'importance. Nous nous bornerons à démontrer immédiatement un théorème qu'il faut regarder comme fondamental dans cette théorie, et qui complète une proposition déjà obtenue (712).

Lorsqu'on considère sur une surface une série de lignes se succédant suivant une loi continue quelconque, deux arcs infiniment petits AB, A'B', interceptés entre

deux trajectoires orthogonales de ces courbes, ont une différence proportionnelle à la courbure géodésique de AB, et en supposant AB et AA' infiniment petits du premier ordre, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,