B'— AC
et par conséquent, à cause de l'équation (7),
dh-' + lds',
c'est-à-dire
dk
*(^V— 2B — — cC— "*'
dv] ' du dv \du
ds — ' -• M AC — B'
On trouverait par un calcul tout semblable relatif à l'autre surface :
dk' s
/.,(dk'\' ,„dk'dk' ^, fdff'Y ' "" V A'C — B'»
D'après ce qui a été dit, -J- et -p doivent être égaux; en égalant doncles seconds
membres des égalités (lo) et (i i), on formera une équation qui, jointe à l'équation (2), permettra de déterminer u' et v' en fonction de u et de v.
731. Le calcul précédent peut se faire pour deux surfaces quelconques, mais il n'en résulte pas qu'elles soient applicables l'une sur l'autre; les équations trouvées entre u etc, u' et v', établissent en effet entre les points des deux surfaces une loi de correspondance telle, que les lignes déterminées par une même valeur du produit RR' se correspondent, et sur ces lignes les points correspondants sont ceux pour lesquels la distance à la ligne voisine est la même; or, il faut évidemment en outre, pour que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, que les arcs correspondants des deux lignes soient égaux entre eux. On pourrait exprimer cette condition en égalant les différentielles des deux arcs, mais nous nous bornerons à avoir fait remarquer qu'une nouvelle équation au moins est nécessaire; on pourra toujours vérifier dans chaque cas si les relations trouvées entre u, t-, u', ^ rendent les arcs correspondants égaux en donnant identiquement
732. Quel que soit le système de coordonnées adopté pour représenter les points d'une surface, la distance de deux points infiniment voisins ayant pour coordonnées u, r, u -h du, v + di', est de la forme
A du' + 2 B dudv -+- (] dv"-,
A, B, C étant des fonctions de u et de v dont la forme varie avec la surface et le choix des coordonnées; la condition nécessaire et suffisante pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre est que, par un choix convenable de coordonnées, on puisse rendre identiques les valeurs de ds'^ , de telle sorte que les variables u et V qui définissent les points de la première surface déterminent aussi ceux de la seconde.
Cette égalité des éléments, une fois établie, est évidemment indépendante du choix des coordonnées, sous la condition, bien entendu, que les points des deux surfaces restent associés de la même manière.
733. Nous indiquerons ici quelques résultats facilement déduits de ce qui précède et relatifs à la forme de l'expression de la distance de deux points infiniment voisins dans divers cas particuliers remarquables.
Lorsque les courbes qui correspondent aux valeurs constantes des coordonnées u et V se coupent à angle droit sur la surface, l'expression de ds'^ est de la forme
ds-= A</?«'-H Bf/c'.
La démonslralion, toute semblable à celle qui a été donnée (124;, résulte de ce que les courbes qui correspondent aux valeurs u, u-i- du, r, t' + di' des coordonnées, forment dans ce cas un rectangle dans lequel le carré de la diagonale doit être égal à la somme des carrés des côtés.
734. Lorsque les lignes qui correspondent à une valeur constante de la variable sont géodésiques, les lignes de l'autre système les coupant à angle droit, le coefficient B devient indépendant de u, et l'on a
On sait en effet que les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u étant géodé'siques, et celles qui correspondent aux valeurs constantes de ^' les coupant à angle droit, deux lignes quelconques du second système interceptent des arcs égaux sur toutes celles du premier système; or, en supposant
si l'on considère les deux lignes correspondant aux valeurs v et v + dv du paramètre t», leur distance, comptée sur une des lignes géodésiques correspondant à une valeur quelconque de u, s'obtiendra en faisant du =0, dans la formule (2) qui
devient
ds' = Bdv',
et comme cette distance doit être indépendante de «, B est, comme on l'a annoncé, ' fonction de la seule variable c; on peut cbanger de variables sans altérer le système de lignes qui répondent aux valeurs constantes des coordonnées, et poser
B dv = rfi', i ' étant une fonction de la seule variable r; on a alors
lis- — dv'^ -+- A du\
la variable t'' représentant évidemment la longueur comptée sur la ligne géodésique à partir de l'une de ces trajectoires ortbogonales arbitrairement cboisie : le coefficient A est une fonction de u et de c' dont la forme varie avec la nature de la surface.
735. La réciproque du résultat que nous venons d'obtenir est exacte; lorsque le carré ds"* de lu distance de deux points voisins a une expression de la forme
(1) ds^=Kdu--}-(if{v)di,\
les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u sont géodésiques. Il résulte
756 PRFJnÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.
t)n effet de la formule (i) que la distancé des deux courbes correspondant aux valeurs v at c -[- dv de la variable est indépendante de u et que par conséquent les courbes correspondantes aux valeurs constantes de u sont telles, que leurs trajectoires orthogonales interceptent sur elles des arcs égaux; on en conclut (719) qu'elles sont des lignes géodésiques.
730. Nous signalerons particulièrement le cas où la surface considérée étant de l'évolution, les coordonnées adoptées pour représenter un point sont, d'une part, l'angle w formé par le méridien correspondant avec un méridien fixe, et, d'autre part, la longueur c de l'arc de méridien compris entre le point considéré et un parallèle fixe. On a vu (130) que le carré de la distance ds^ a, dans ce cas, une expression de la forme
Réciproquement, si l'expression du carré df^ est de la forme
rfi= = (fv' -I- <p ( C ) £?«%
la surface est applicable sur une surface de révolution convenablement choisie. La détermination du méridien auquel convient une forme donnée de la fonction ç est un problème de calcul intégral sur lequel nous ne donnerons ici aucun développement. •
737. Nous citerons cependant deux exemples remarquables de surfaces applicables sur des surfaces de révolution,
L'bélicoïde gauche à plan directeur est applicable sur la surface de réyolution <lont le méridien est une chaînette.
Prenons pour axe des z l'axe du cylindre et pour axe des x et desj deux diamètres rectangulaires de la base : l'hélicoïde gauche à plan directeur sera représenté par les équations
z = m c) , . fr
(i) X ^= /•cosw,
r et w étant deux variables qu'il serait facile d'éliminer pour former l'équation de la surface, mais cette équation ne nous serait pas utile. Nous regarderons w et r comme les deux variables qui servent à définir les points de l'hélicoïde ; à une valeur constante de r correspond une hélice, et à une valeur constante de w, une génératrice rectiligne qui coupe toutes les hélices à angle droit.
En désignant comme d'habitude par ds la distance de deux points infiniment
voisins, on a
ds'' = dx^ -+- (/>•' + dz\
et l'on en conclut, à cause des équations (i),
(2) ds'={iri'-\- r')d(,i^ + dr-.
On reconnaît, dans cette expression, la forme qui convient à une surface de révolution. On a vu en effet (736) que, a désignant l'arc de méridien et w l'angle qu'il forme avec un méridien fixe, on a, sur une surface de révolution,
(3) </i'=(/ff'+ 0((7)f/M'.
En posant c- = /•, les deux formules (2) et (3) deviennent identiques si l'on a
Or 9 (ff) est le carré du rayon du parallèle, c'est-à-dire de l'abscisse du point qui correspond à l'arc c: si nous désignons cette abscisse par x, il suffit de trouver une courbe telle que
(4) X = ^m*-{- ff'.
c'est-à-dire
ff = \/x'' — m' ; lin en^déduit
X dx
di =
six'' — m'
Or, en nommant/ la seconde coordonnée rectangulaire, on a
dff'=idx'-+- dy\
et l'équation (5) devient
1 , I , x'dx' dx' -H dy'
x^ — ni'
ou
, . m^dx
dy =
x' — m' mdx
On en déduit
Vx» — m'
y=ml{x-^ \lx' — nV}-{-C
Si l'on prend la constante C, qui est arbitraire, égale à — Im, on déduit de cetie i'-(|uation
v'x' — /n'= me"'.
et, par suite,
— m'=^me
équation d'une chaînette qui, par sa révolution autour de l'axe des r, engendrera la surface applicable sur l'Iiélicoïde gauche à plan directeur.
738. M. Bour a généralisé le théorème précédent en démontrant que toute surface In'licoïdale est applicable sur une surface de révolution.
On nomme surface hélicoïdale la surface engendrée par un profil de forme quelc(»nque situé dans un plan normal à un cylindre de révolution mené par une génératrice et se mouvant sans changer de forme, de telle sorte que tous les points décrivent simultanément des hélices de même pas situées sur des cylindres de même axe.
En prenant pour axe des :; l'axe du cylindre et pour axes des .r et des r deux diamètres rectangulaires de la base, on peut évidemment représenter une surface hélicoïdale par les équations
X = p ces M ,
J = p sin û) ,
z = mw + 9(p),
la forme de la fonction o {p) déterminant la courbe qui sert de profil. Les variables p ei u) définissent ici sur la surface deux systèmes de courbes : les unes, qui correspondant aux valeurs constantes de p, sont des hélices ; les autres, correspondant aux valeurs constantes de w, sont les courbes, toutes superposables, suivant lesquelles la surface est coupée par les plans méridiens du cylindre. Ces deux systèmes ne sont pas orthogonaux, et pour cette raison nous introduirons une nouvelle variable ii, |)aramètre des courbes qui coupent les hélices à angle droitT En considérant « comme une fonction de p et de ii, on aura
, , . doi , . d bi ,
dx = cos (.) dp — p sm &j -7— rf 0 — p sui w —j— du , ' ' dp ' ' du
, . , d'>^ , dr,) ;
dr = sm M dp-\- p cos w -r— do -f- 0 cos w -7— du , ■' ' ' dp ' ' du
, , , > 7 db) J d(iù J
dz = cfi [pj dp -h ni -T~ du + m -y— dp ;
on en déduit l'expression du carré ds- de la distance de deux points infiniment
voisins de la surface.
+ 7.dadu 0' -T- -1 1- m -=— o' p -\-m^ -, 3- •
\' dp du du ' ' do du ^
l'our que les courbes qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent orthogonalement les hélices qui correspondent aux valeurs constantes do 0, il faut que le terme en dudp disparaisse. Posons donc
du
r . d'.t , , , dr,)~\
-T^ ne peut pas être nul, car il est impossible que m dépende de la seule variable f,: il faut donc égaler à zéro le second facteur; on en déduira une valeur de u en fonction dep, et comme wne figure que par sa dérivée -r^, on peut lui ajouter une fonction arbitraire de u. Prenons cette fonction égale à ku, k étant constant; ~ sera
° du
alors égal à k, et l'expression de ds- prendra la forme
</«' = G rfp' + /." du^ ( p» + m' ) , le coefficient G ne contenant que p : désignons-le par \^{p)y, nous aurons
</s» = [ ^ ( p ) rfp ]» -f- A-' rf«M p' + '«' )•
Si l'on pose 'i({p)dp = dv, 0 sera une fonction de rel l'expression de ds^ prend la forme
ds^ = dv^-^V{v)du\
(|tii convient (130) à une surface de révolution.
Courbure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque.
739. Lorsque sur une surface quelconque on considère deux systèmes de lignes se coupant ortliogonalement et décomposant la surface en rectangles infiniment petits, il existe entre les courbures géodésiqucs des lignes des deux systèmes, ou, ce qui revient au même, entre les cotés inliniment petits des rectangles successifs, des relations analogues à celles qui ont déjà été trouvées ^507) et ^55(>j pour les systèmes plans ou spbériques.
Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du premier système correspondant aux valeurs a^, a^-^-da^ du paramètre a^, qui figure dans leur équation générale, et CC, DD' deux courbes infiniment voisines du second système correspondant aux valeurs a,, a, +</«, de leur paramètre, et formant avec les deux premières un rectangle infiniment petit PQRS; le côté PR, distance de deux points infiniment voisins qui correspondent à une même valeur de a.,, est évidemment proportionnel à rfa,, et le côté PQ à da.^; posons donc, en désignant par E et G deux fonctions de a, et de a, que nous regardons comme connues,
le carré de la distance de deux points infiniment voisins, tels que P et S, sera alors exprimé par
et il suffira de calculer cette distance pour connaître les fonctions E et G. Les courbures géodésiques des lignes PQ et PR peuvent se calculer au moyen du théorème démontré (719).
On a en effet
