RS — PQ

p, ~ Pll.PQ '

i QS — PR p,"~ PR.PQ "'

remplaçons PR et PQ par leurs valeurs, et remarquons que RS — PQ, différentielle de PQ par rapport à a,, est donnée par la formule

rf.PO

—, — rfa, =: rfa, —, — l aa, v G ) =««, ««j — ;

a a, aa, ' dx,

On verra de même que QS — PR, la différentielle de PR, est égale à

da, d

on a pyr conséquent

d v/lj

\/Ëv^'

rfs/Ë

dx,

740. Cherchons ce que deviennent, dans le cas d'un système quelconque de courbes orthogonales, les relations trouvées (558) pour un système de courbes sphériques.

Soit PQRS le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes correspondant aux valeurs «,, «, -+-rfa, du premier paramètre, et «.,, a^ -+- dy.^ du second. Menons les sommets P, Q, R, S des lignes géodésiques tangentes aux côtés de ce rectangle : nous formerons un octogone QOPIRO'SI', dont la courbure totale

est mesurée (728) par l'excès de la somme de ses angles sur douze angles droits; or, en nommant £, , £| + de, les angles de contingence des arcs PR, QS, et Sj, £0 + di^ ceux des arcs PQ, RS, on a, en désignant chaque angle de l'octogone par la lettre placée à son sommet,

0' = r — £. — f/.,, l'^z — E, — dt,,

et la courbure de l'octogone est par conséquent mesurée par

— dit — di!.

Cette courbure est égale d'ailleurs (722) à la surface PQ.PR divisée par le produit des rayons de courbure, et l'on a par conséquent