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l'Hospital en 1694, et Enler en 17 55, publièrent les ouvrages qui contiennent, ceux d'Euler surtout, avec des vues grandes et vraies, de nombreux et de si excellents exemples, l'mi et l'autre exposèrent, pour la première fois, des théories générales dont il ne serait pas juste cependant de leur attribuer l'invention. Uniquement désireux de propager la science aux progrès de laquelle ils contribuaient chaque jour, ils se bornent à faire connaître les méthodes sans en discuter l'origine, et comme on ne peut supposer qu'ils réclament l'honneur d'avoir tout inventé, rien n'est plus modeste que ce silence qui semble tout placer dans le domaine de tous.

Il est donc impossible d'attacher à chaque théorie le nom incontesté d'un inventeur, et le débat célèbre que nous avons fait connaître se serait renouvelé à l'occasion de chaque progrès important de la science, si, de même qu'on a voulu trop souvent étal)lir qu'un seul a ouvert la voie, on eut absolument tenu à décider dans quel ordre les géomètres l'y ont suivi et jusqu'oii chacun s'y est tout d'abord avancé. Certaines vérités, en effet, sont acquises implicitement dès que l'attention est appelée sur le principe qui y conduit, et l'on peut dire par exemple que la Note publiée en 1684 dans les Actes de Leipzig fle pouvait manquer de conduire rapidement à la presque totalité des théories qui forment le premier Livre de cet ouvrage.

Le premier chapitre est consacré à l'étude géométrique des infiniment petits. On y verra, par la solution développée de quelques problèmes, comment les raisonnements doivent être présentés pour être entièrement rigoureux. Mais, les principes une fois posés, nous emploierons souvent dans la suite le langage commode sous lequel il ne faut voir que les mêmes idées plus brièvement exprimées. Ces abréviations consistent à négliger immédiatement, et sans dire pounjuoi, ce qui est effectivement négligeayjle, et à nommer du même nom, en les traitant comme identiques, les points et les lignes dont la substitution ne peut exercer d'influence sur le résultat final. C'est ainsi que l'on dira souvent : la tangente en un point d'une courbe passe par le point infiniment voisin; lors(piune droite mobile reste tangente a une courbe, on peut la considérer à chaque instant comme tournant autour du point de contact; ces locutions, et plusieurs autres analogues, sont tellement reçues, quoique incorrectes, qu'il faut s'y accoutumer comme a des termes consacrés qui abrègent le discours. Pour plusieurs auteurs, la

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iliéthode infinitésimale consiste à remplacer une courbe par un polygone dont les côtés sont infiniment petits. Cette substitution conduit presque toujours à des résultats exacts, et les démonstrations que l'on en déduit doivent toujours être examinées avec soin. Elles sont fort simples, mais leur clarté, plus apparente que réelle, se dissipe quand on y regarde de près.

Leibnitz et les frères Bernonlli, Euler et l'Hospital (*) employaient ce langage, et quoiqu'ils aient fait preuve d'une science très-assurée dans leurs applications géométri(|ues de la méthode infinitésimale, on comprend, en lisant leurs ouvrages, que les géomètres habitués à la rigueur d'Euclide aient eu quelque peine à accepter leurs raisonnements, et que l'exactitude reconnue des l'ésultats ait été nécessaire pour rassurer certains lecteurs sur la légitimité d'un langage trop peu sévère . Le célèbre mot de d' Alembert : « Allez en avant, et la foi vous viendra, » n'exprime rien autre chose. L'Académie des Sciences de Paris se refusa pendant quelque temps à admettre une doctrine qui semblait altérer la pureté géométrique; elle vit naître d'ardentes discussions dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination à de fausses idées qu'ils s'étaient formées, et à des locutions qui les choquaient sans qu'ils voulussent considérer le fond des choses, contestèrent non-seulement la rigueur des raisonnements, mais encore l'exactitude des règles de Leibnitz. Cette opposition fut vitile, en forçant les géomètres infinitésimaux à donner ime forme plus nette aux principes contestés, qui peutêtre n'avaient été mal compris des uns que pour avoir été jusque-là mal expliqués par les autres. Leibnitz lui-même, que les plus grands géomètres de l'Europe avaient enfin admiré et compris, loin de s'envelopper dans sa gloire et de mépriser les critiques, ne dédaigna pas de répliquer avec courtoisie à des adversaires qu'il estimait malgré la faiblesse de leurs arguments. Sa réponse au Journal de Trévoux est restée célèbre par une concession singulière, qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur qu'on lui reprochait. Il assimile en effet les infiniment petits des divers ordres à des grandeurs incomparables à cause de leur extrême inégalité, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de la terre. Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de précis et conduirait à confondre l'infiniment

(*) Newton est toujours aussi irréprochable dans la forme que rigoureux dans le fond.

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petitavec le très-petit. Leiljiiitzressemljle, dans cette circonstance, dit Fontenelle, à vin architecte qui a fait un bâtiment si hardi, qu'il n'ose lui-même s'y lo{:;er, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans crainte, et, qui plus est, sans accident. JMais à cette citation on doit ajouter que, la lettre de l^eibnitz n'étant pas écrite pour des géomètres, la concession ([ui semble trop timide n'était peut-être queprudente. Leibnitz renvoie d'ailleurs sur ce point à l'ouvrage de l'Hospital, qui l'expose avec exactitude et simplicité. Toute controverse ne tarda pas d'ailleurs à s'évanouir par la définition précise des termes employés, et ces matières ont été éclairées et approfondies partant de discussions, qu'il n'y subsiste plus aucun nuage, et que tout aujourd'hui semble simple et rigoureux dans le début d'une science facilement accessible, et que l'on ne songe plus ii nommer transcendante .

L'idée fondamentale de la théorie des différentielles consiste à cherchei', dans l'accroissement d'une fonction quelconque, la partie proportionnelle à l'accroissement de la variable, et qui reçoit le nom de différentielle . Elle s'obtient si facilement pour les fonctions simples ou composées, implicites* ou explicites, que l'historien le plus minutieux ne se croirait pas obligé de rapporter l'honneur de chaque règle à celui qui l'a énoncée le premier. La considération des fonctions de plusieurs varialjles complète d'une manière aussi naturelle que nécessaire la conception primitive de Leibnitz, qui, non plus que Newton, n'a pas eu occasion de s'en occuper. Le Traité des Infiniment petits de l'Hospital, publié en i654, traite exclusivement des fonctions d'une seule variable. La transition d'un cas à l'autre est cependant si naturelle, qu'Euler, ayant à différentier une fonction de deux variables œ et j, écrit immédiatement le résultat sous la forme Vdx-\-Ç)dy, et ne signale même pas dans la science l'introduction d'une idée nouvelle. Quoique les règles de Leilmitz n'aient pas été posées en vue de ce problème plus général, elles s'y appliquent en effet, et souvent même le résolvent complètement. Lorsque par exemple on s'est halntué à dire

d.ab=^odb-\-bda,

en regardant a et h comme deux fonctions quelconques d'une même variable a:, si l'on doit différentier le même produit ah lorsque les variables sont indépendantes, il est tout naturel d'employer la même formule, et, malgré

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l'importance de la question nouvelle qui se trouve abordée, on comprend qu'il n'y a pas lieu à regarder comme ime découverte cette extension donnée à une formule aussi comme et à l'expression de laquelle on n'a d'ailleurs rien à chaneer.

Quoi qu'il en soit, nous n'avons rien d'essentiel à ajouter à ce que le Calcul différentiel d'Euler contient sur les différentielles premières d'une fonction de plusieurs variables.

La théorie du déterminant d'un nombre quelconque de fonctions contenant un nombre égal de variables» fait le sujet du chapitre III. Cette théorie, qui se rattache d'une manière beaucoup moins directe à la conception primitive, est aussi beaucoup plus récente, et due presque entièrement à Jacobi. La définition de ce déterminant est telle, c]ue dans le cas d'une seule fonction il se réduit à la dérivée. L'analogie des déterminants et des dérivées est d'ailleurs complète, et l'importance des applications, faites la plupart par l'illustre auteur de la théorie, donne à cette ingénieuse •conception le droit de figurer parmi les principes de la science.

Nous avons placé immédiatement après la théorie des différentielles du premier ordre son application à l'étude des tangentes et des plans tangents, qui est à la fois ime des plus célèbres, des plus importantes et des plus simples que l'on en puisse faire. On s'étonnera peut-être cependant qu'un chapitre consacré à la géométrie vienne interrompre l'exposition des principes analytiques; mais il n'y a, je crois, aucun inconvénient à aborder immédiatement les questions géométriques dont l'étude n'exige du lecteur aucune idée nouvelle. Les théories qui, comme celle de la courbure des surfaces, restent habituellement en dehors des études élémentaires, seront au contraire placées plus utilement après l'ex'position du calcul différentiel, parce que, tout en formant une application très-intéressante des principes relatifs aux différentielles du second ordre, elles n'en sont pas la traduction géométrique.

La détermination des plans tangents a été tout naturellement rapprochée de celle des tangentes, quoiqu'elle lui soit, dans l'ordre historique, postérieure de bien des années. Parent, dans ses Essais et Recherches de mathématiques et de physique, a le premier parlé de représenter une surface par une équation entre trois variables, mais il n'a pas fait connaître l'équation générale du plan tangent. Jean Bernoulli, sans la donner expUcitement, a