PRÉFACE. XXVII

entendu, tend vers zéro lorsque le rang du terme augmente indéfiniment. Ces sommes d'éléments se présentaient en outre comme des formes transitoires auxquelles on ne pouvait s'arrêter, et qui par elles-mêmes n'eussent été d'aucun secours.

C'est encore la recherche d'une quadrature qui conduisit Mercator à la série célèbre qui représente /(i -h .r), et dont la démonstration, qui a précédé la découverte du calcul différentiel et celle du calcul intégral, revient

au fond à remplacer la fraction par une progression indéfinie, et à in-

tégrer ensuite les deux membres de l'équation. Cette série, publiée en 1 67 9. dans l'ouvrage intitulé Logarithmotechnia, est le premier exemple d'une formule composée d'un nombre illimité de termes, et utilement employée pour le calcul numérique de l'expression qu'elle représente : chacune des parties dont se compose la démonstration de Mercator était alors bien connue. Huyghens avait montré l'identité des logarithmes avec les aires hyperboliques, et \ ^ ritlimetica infinitorum de Wallis faisait connaître l'aire des courbes dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse, c'est-à-dire, dans notre langage actuel, l'intégrale de chacun des termes de la progression. Le seul, mais le grand mérite de JMercator, est donc d'avoir appelé l'attention sur l'expression indéfinie qu'il était sans doute facile de former, mais dont un géomètre moins perspicace aurait mécomm l'importance.

Lorsque Mercator publia sa découverte, Newton était depuis plusieurs années en possession de l'idée fondamentale qui y conduit, et la communiqua à lîarrow, autrefois son maître et alors son collègue, en mettant sous ses yeux le manuscrit du Traité intitulé : Analysis per œquationes numéro terminorum injlnitas. Newton, dans ce petit Traité, transporte pour ainsi dire au calcul algébrique les méthodes de l'Arithmétique. Les séries ordonnées suivant les puissances de la variable sont, à ses yeux, la généralisation des fractions décimales qui peuvent représenter tous les nombres. De même ([ue ces fractions décimales participent a\i\ propriétés des nombres entiers et se prêtent aussi facilement qu'eux au calcul, les séries transforment les expressions fractiomiaires ou irrationnelles en polynômes entiers, et ramènent les expressions les plus complicjuées à un type uniforme et simple.