XXX PRÉFACE

voudrais seulement que l'on trouvât moyen de décider si la valeur exprimée par une série est possible, c'est-à-dire convergente, et cela sans connaître l'origine de la série. Il est nécessaire, pour qu'une série indéfinie représente une quantité finie, que l'on puisse démontrer sa convergence, et que l'on s'assure qu'en la prolongeant suffisamment l'erreur devient aussi petite que l'on veut. )j

Pendant longtemps pourtant les géomètres, presque sans exception, ont accepté sur ce point une doctrine bien étrange ; non contents d'appliquer les développements en série aux cas légitimes où ils sont convergents, ils se sont crus en droit de les étendre sans restriction. La généralité inhérente aux formules algébriques a trompé sur ce point les plus scrupuleux et les plus habiles; regardant les séries comme des polynômes,, ils croyaient pouvoir sans crainte exécuter sur elles les opérations et transformations reconnues légitimes pour la somme d'un nombre quelconque de termes, et les nécessités particulières imposées par la condition qu'elles fussent convergentes ont été pendant longtemps méconnues. Euler, qui le premier a formulé explicitement cette opinion, croyait qu'un raisonnement où interviennent les séries divergentes est suffisamment exact dès que la suite des calculs amène un résultat en termes finis, ou une série convergente.

De tels principes, adoptés par un esprit aussi sage, et qui partout ailleurs a si bien connu et respecté la rigueur mathématique, nous offre une de ces contradictions où l'esprit himiain tombe quelquefois et qu'il faut renoncer à expliquer. Quoi qu'il en soit, quelques applications heureuses tinrent lieu d'une démonstration qu'il était impossible de faire, et que pendant longtemps personne ne songea à réclamer.

C'est vers le commencement du siècle que Poisson rappela les géomètres à la vérité et à la rigueur, en montrant à quels résiiltats peut conduire l'emploi des séries divergentes. Quelques lignes énergiques de Gauss et d'Abel ont également contribué à faire cesser ce scandale géométrique et à établir solidement la nécessité absolue de la convergence en faisant disparaître de la science une erreur qui, tenant aux principes, aurait pu en causer un grand nombre d'autres. Maïs il est inutile d'insister sur une -doctrine que rien ne justifie et qui est réfutée par le seul examen des conséquences absurdes qu'elle entraîne.