PRÉFACE. XXXI

Les règles qui permettent de décider de la convergence d'une série acquirent une importance nouvelle lorsque cette convergence eut été reconnue indispensable. La solution du problème dans quelques cas particuliers est aussi ancienne que l'emploi des séries; mais l'étude approfondie n'en a été faite que très- tard et très-lentement.

Nous pouvons citer d'abord quelques règles presque évidentes données pard'Alembert, et relatives aux séries nmnérique^, l'expression du reste de la série de Taylor par Lagrange, l'étude d'une série importante dont Gauss a donné la condition de convergence en la rattachant à des règles élégantes, et enfin des méthodes nombreuses et auxquelles bien peu de cas peuvent échapper, pour décider de la convergence des séries numériques à termes positifs.

A l'étude des conditions de convergence des séries, nous avons dû joindre l'exposition des méthodes qui facilitent leur sommation approchée lorsqu'elles sont lentement convergentes. Nous en exposons trois qui reposent sur des principes très-différents, et dont chacune pourra, dans certains cas, se trouver plus avantageuse que les deux autres. L'une de ces méthodes est due à Stirling, la seconde à Euler, la troisième, qui est d'une grande élégance, a été proposée par M. Kummer,

La série de Taylor, à cause de sa grande généralité, devait plus que toute autre fixer l'attention des géomètres; l'expression du reste, successivement obtenue sous diverses formes plus ou moins appropriées aux cas les plus remanjuables que l'on devait traiter, semblait, avant les beaux travaux de (^uchy, donner le dernier mot delà question envisagée sous forme abstraite. En approfondissant le résultat de Taylor, sans sortir du point de vue auquel il s'est placé, on y voit tout d'abord et assez facilement une généralisation du principe sur lequel repose le calcul différentiel : l'accroissement infiniment petit d'une fonction quelle qu'elle soit, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, est proportionnel à l'accroissement de la variable; les exceptions dont la possibilité est évidente, puisque la fonction reste indéterminée, ne pouvant jamais se rapporter qu'à certaines valeurs singulières de la variable et le théorème restant forcément exact en général et pour toute fonction continue. Si l'on étudie la question de plus près, en se bornant toujours cependant au cas d'un accroissement infiniment petit, on démontre que l'excès de l'accroissement d'une fonction sur la partie que l'on

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peut nommer principale et proportionnelle à l'accroissement de la variable, devient forcément proportionnel au carré de celui-ci, lorsque l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second; la portion principale de ce cjui est négligé dans cette seconde approximation est elle-même proportionnelle au cube de l'accroissement de la variable, et ainsi de suite indéfiniment, les exceptions possibles se rapportant, non à des fonctions singulières, car le théorème est une conséquence nécessaire de la loi de continuité, mais à des valeurs spéciales de la variable pour lesquelles la continuité est rompue.

Ce point de vue très-important et très-lumineux du théorème de Taylor n'en donnerait cependant qu'une intelligence imparfaite.

C'est à Cauchy que revient F honneur d'avoir le premier rattaché cette cjuestion importante à ses véritables principes. La possibilité ou l'impossibilité de développer une fonction par la formule de Taylor peut être reconnue sans f[u'il soit nécessaire de calculer les termes menées de la série, pourvu que la fonction à développer soit définie pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable. Cette introduction des imaginaires dans une question à laquelleleur théorie semble d'abord complètement étrangère est un des plus grands progrès que l'analyse doive à Cauchy et qu'elle ait faits dans ce siècle.

Les expressions imaginaires se présentent comme une conséquence nécessaire des formules les plus simples de l'Algèbre; les racines des équations du second degré impossibles ont la forme a-hb y — i , qui est aussi celle des racines de toute équation algébrique , et généralement des résultats fournis par des opérations algébriques quelconques exécutées sur de telles expressions. Ces théorèmes furent admis par les géomètres avant d'avoir été rigoureusement démontrés. Euler les énonçait en ly^^, dans les Miscellanea Berolinensia ^ comme bien connus. C'est cependant en 1 746 qu'on en trouve la première démonstration générale donnée par d'Alembert, démonstration insuffisante, il faut l'avouer, ainsi que toutes celles qui furent données jusqu'au Mémoire oii Gauss reprend cette question après avoir justement critifjué les raisonnements proposés jusqu'à lui. Peu de questions du reste ont été plus souvent traitées. Gauss n'y a pas consacré moins de cinq Mémoires, et Cauchy, auquel on a souvent attribué la première démonstration rigoureuse, y est revenu lui-même à plusieurs reprises.

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\on-seiilenieiit les opérations algébriques exécutées sur les expressions imaginaires donnent pour résultat des expressions de même forme qu'elles, mais encore le logarithme d'une expression imaginaire admet une infinité de valeurs, toutes de la forme a-\-h \J — i , et la puissance dont l'exposant est imaginaire peut être mise sous la même forme, à laquelle on est toujours ramené. C'est là une découverte importante d'Euler, qui fait d'autant plus d'iionneur à sa pénétration , que les discussions de Leibnitz et de IkrnouUi sur ce sujet n'avaient fait qu'embrouiller la question en en montrant toutes les difficultés. Euler dissipa tous les nuages en faisant connaître l'expression des lignes trigonométriques au moyen d'exponentielles imaginaires, d'où l'on a déduit tant de belles conséquences, signalées en grande partie par lui-' même. Citons seulement ici la décomposition des lignes trigonométriques en produits, et les nombreuses formules auxquelles elle conduit, et dont les démonstrations, peu rigoureuses il faut l'avouer, ont été confirmées depuis par une analyse plus sévère. C'est à Euler également que l'on doit les séries <[ui expriment les sinus et cosinus du multiple d'un arc en fonction des puissances entières du sinus ou du cosinus, et réciproquement les puissances du sinus ou du cosinus en série dont les termes sont les sinus ou cosinus des multiples de l'arc; les résultats (ju'il a fait connaître sont soumis, il est vrai, à des restrictions qu'il n'a pas connues, et les géomètres, trompés par leurs idées sur la généralité des fornudes algébriques, ont mis longtemps à les soup- (;onner. Poisson signala le premier mie contradiction qu'elles présentent, et dont l'explication ne fut pas donnée immédiatement; mais en mathématiques les formules ne se démentent jamais, et lorsqu'il s'y présente quel<[ue rf'îsultat paradoxal, on peut affirmer (ju'un examen plus attentif le fera dispaïaître. Poinsot ne tarda pas, en effet, dans son Mémoire sur les sections angulaires, à préciser le sens et les conditions d'exavtitude de ces divers développements. L'examen des ([uestions de convergence est malhem-eusement laissé de côté dans son travail, et a été fait pour la première fois par Abel, dans son important Mémoire sur lel)inôme.

Ce Mémoire d'Abel nous ramène à la théorie des fonctions imaginaires,

dont nous ne nous sommes écarté qu'en apparence en parlant des séries

trigonométriques. li'illustre géomètre norvégien y étudie, avec une rigueur

jusf[ue-là bien rare dans les questions de ce genre, la série du binôme, dans

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laquelle il suppose aux lettres qui y figurent des valeurs imaginaires. Il ne s'agissait pas seulement pour lui de savoir si la formule de Newton reste exacte et représente encore (i -hx)'", lorsque x et m sont imaginaires. Une telle proposition n'aurait aucun sens précis. La série, en effet, est complètement déterminée lorsque .r et m sont donnés, et la fonction admet, d'après la définition, un nombre infini de valeurs ; quelle est celle qui représente la série.»' Abel résout complètement la question, préparant ainsi par l'étude d'un cas pai-ticulier difficile et important la théorie générale créée peu de temps après par Caucliy, et qui a pris rapidement une telle importance, que nous devons nous y arrêter particulièrement.

• Pour comprendre la portée de cette théorie, il faut premièrement se former une idée nette du degré de généralité renfermé dans cette expression : une Jonction imoglnaire quelconque, et ne pas se laisser égarer par l'analogie, très-trompeuse cette fois, avec une fonction réelle quelconque.

Nous avons une idée très-claire du degré d'indétermination que comporte cette expression, une fonction quelconque d'une variable réelle. Nous entendons que, pour chaque valeiu' de la variable, on peut choisir Hbrement celle de la fonction, sans que le choix soit gêné par aucune autre condition que celle de foui^nir une suite continue représentant les points d'une courbe dont la forme reste arbitraire. L'analogie porte tout naturellement à regarder ime fonction imaginaii^e quelconque comme impliquant un égal degré d'indétermination et pouvant recevoir, pour une valeur donnée de la variable a; = a -h j3 \f— i , une partie réelle et une partie imaginaire arbitraires toutes deux, sans autre restriction que celles qui résultent delà condition de continuité. Si l'on prend, enim mot, a, [3 pour coordonnées d'un point ayant pour troisième coordonnée la partie réelle de la valeur correspondante d'une fonction arbitraire, on doit penser, à priori, que la surface décrite par ce point est entièrement arbitraire comme la fonction qui lui donne naissance ; mais il y aurait là une erreur grave. La condition d'avoir une dérivée déterminée équivaut en effet à deux équations qui sont imposées à la partie réelle aussi bien qu'à la partie imaginaire d'une fonction quelconque, et que nous supposerons toujours satisfaites. L'existence de ces équations explique comment une fonction dont la définition n'est pas donnée peut avoir néanmoins des propriétés très-précises, et rend