CHAPITRE PREMIER

INFINIMENT PETITS DES DIFFfcRE^TS ORDRES, LEUR USAGE EN GÉOMÉTRIE.

Définitions.

1. Ou nomme infinimenl petit ou quantité infiniment petite, un nombre ou une grandeur variable qui diminue indéfiniment et s'approche autant qu'on veut d'une limitt' nulle, sans jamais l'atteindre.

Lorsque l'on considère simultanément plusieurs infiniment petits, on choisit arbitrairement l'un d'entre eux comme infiniment petit principal ; cela fait, on adopte les définitions suivantes.

On wommt infiniment petit du premier ordre tout infiniment petit dont le rapport 1. '

2 PRIÙMIÈRK l'AKTlE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

à rinfiniment petit principal tend vers une limite finie lorsqu'ils s'approchent tous

deux indéfiniment de zéro.

On nomme infiniment petit du second ordre tout infiniment petit dont le rapport au carré de l'infiniment petit principal tend vers une limite finie.

On nomme en général infiniment petit de l'ordre n un infiniment petit dont le rapport à la puissance n'*'"* de l'infiniment petit principal a une limite finie.

Il ne faut pas croire que tout infiniment petit soit nécessairement d'un ordre déterminé; nous rencontrerons en effet des infiniment petits tels, qu'aucune puissance de l'un d'eux ne soit du même ordre que l'autre. Soient « et /3 de tels infiniment petits : le rapport ^ ne peut pas avoir une limite finie, car sans cela ils seraient

de même ordre. Lorsque cette limite est nulle, on dit que ['ordre de a est supérieur à celui de ^, et c'est le contraire si la limite est infinie.

Il résulte évidemment des définitions précédentes que si deux infiniment petits a et |3 sont l'un de l'ordre n et l'autre de l'ordre n', leur produit «|S est de l'ordre n + n'.

2. Soit y {oc) une l'onction quelconque d'une variable ce; si l'on donne à x un accroissement infiniment petit A, que nous regardons comme infiniment petit principal, l'accroissement infiniment petit correspondant de la fonction, çp(a;4-A) — ç (x), est un infiniment petit de premier ordre, et il ne peut y avoir exception que poOr des valeurs particulières de la variable .v.

y {x+h) — yi.r)

Si, en effet, il en était autrement , le rapport

aurait, pour cha-

que valeur de x, une limite nulle ou infinie. Je dis que ces deux hypothèses sont inadmissibles.

Supposons d'abord que le rapport considéré ait constamment pour limite zéro, lorsque x reste compris entre certaines limites. Soient a et b deux valeurs de x choisies arbitrairement entre ces limites ; partageons l'intervalle b — a en n parties

égales et nommons h la valeur de chacune de ces parties ; posons :

>f{a+ ■>ll) — y(« + /i)

If {a -^nli] — ■4>[a-\- {n — i] h

ai n augmente indéfiniment, h tend vers zéro, et d'après notre liypollièse il en

est de même de E,, Ej ,..., E„. Cela posé, ajoutons membre à membre toutes

les équations ( i ) après avoir multiplié par h les deux membres de chacune d'elles;

nous aurons

» (a +/i/() — -}-(«)= ¥ {ff) — î(a^ = /« (E, + £,-(-...+ E„).

Soitvj la plus grande en valeur absolue des quantités E,, Ej ,..., E„ (ïj est infiniment petit), nous pouvons conclure de l'égalité précédente que f {b) — f [a , est plus petit en valeur absolue que le produit h.nri, c'est-à-dire (à cause do nh = h — a), que cette différence a» (i) — 9 (a) est moindre en valeur absolue que le produit r,{b — a) et comme r, est infiniment petit, il est impossible que la différence 9(6) — 9 (a), qui ne dépend nullement de A, ait une valeur finie quelconque; cette différence est donc nulle, deux valeurs de la fonction y, choisies arbitrairement, sont donc égales entre elles, par conséquent cette fonction est constante.

Il est démontré par là que les accroissements d'une fonction qui ne se réduit pas a une constante ne peuvent pas être des infiniment petits d'un ordre supérieur aux accroissements correspondants de la variable, si ce n'est toutefois pour des valeurs exceptionnelles de cette variable. On peut en conclure immédiatement que le rapport

ne peut pas non plus croître indéfiniment lorsque h tend vers zéro, ou, en d'autres termes, que l'accroissement h de la variable ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à l'accroissement de la fonction.

Un peu de réflexion fait apercevoir l'identité de cet énoncé avec le précédent. Quand on considère, en effet, à la fois une fonction 9 ix) et la variable x dont elle dépend, rien n'empêche de désigner cette fonction par une lettre r et de regarder y comme une variable dont x est une fonction ^ [y). Cette vérité acquiert une roniplète évidence si l'on regarde 9 [x) comme l'ordonnée d'une courbe ayant pour équation j — (!ji[x) : cette courbe étant construite, il est clair que l'on peut regarder l'abscisse de l'un de ses points comme fonction de l'ordonnée, tout aussi bien que l'ordonnée comme fonction de l'abscisse; et du moment qu'il est prouvé, d'une manière générale , que l'accroissenu-nt infiniment petit de l'une de ces quantités ne peut être d'un ordre supérieur à celui de l'autre, la proposition s'applique nécessairement à l'un et à l'autre, et l'on doit en conclure que les deux accroissements sont de même ordre.

:$. Quelle que soit la fonction 9 [x], le rapport l^fJl-L'i^S-' a, d'après ce qui précède, une limite finie lors(jue // tend vers zéro: cette limite est une nouvelle

fonction de x que l'on nomme la dérivée de la fonction i^j ; on la représente souvent

en marquant d'un accent le signe de cette fonction.

œ' (ir) est la dérivée de (j) (a;).

La recherche et l'étude des dérivées ont une grande importance dans le calcul infinitésimal; nous y consacrerons plusieurs chapitres. Notre seul but en ce moment est de donner quelques exemples d'infiniment petits de divers ordres.

Nous indiquerons immédiatement quelques conséquences géométriques de la proposition précédente.

4. Si les coordonnées des points d'une courbe s'expriment en fonction d'une vaiiable u, ce qui pour une courbe quelconque peut évidemment être réalisé d une infinité de manières, la distance de deux points infiniment voisins de la courbe est un infiniment petit de même ordre que la différence des valeurs de a auxquelles Us correspondent.

Si l'on nomme en eftet x et j les coordonnées de l'un des points, ai x -h h, y -h k les coordonnées de l'autre, c? désignant l'accroissement de a, puisque x et y sont fonctions de a, il résulte du théorème général que leurs accroissements h et k sont l'un et l'autre de même ordre que â. Or on a

\l II' -1- k' / l li\- ( li

v'dr

et par conséquent ce rapport a une limite finie, ce qui prouve la proposition énoncée, car \/ h^ + k^ est la distance des deux points considérés.

La même proposition s'applique aux courbes à double courbure; si x, y, z sont les coordonnées d'un point d'une telle courbe et fonctions toutes trois d'une même variable a, en donnant à a un accroissement infiniment petit ô, x,y, z deviendront X + h, y + k, z ■+■ l, et /*, k, l seront de même ordre (?. Or on a

v' II' -+- h' + l' / I liV i l>

-V(iï-m-{iï^

et par conséquent le rapport de la distance de deux point-s infiniment voisins à l'accroissement correspondant de a a une limite finie.

5. Si les points d'une courbe correspondent un à un à ceux d une autre courbe, de telle sorte qu'un point de l'une des courbes étant choisi, son correspondant se trouve déterminé, la distance de deux points infiniment voisins de l'une des courbes est de même ordre que celle des points correspondants sur l'autre.

Si l'on suppose, en eftet, que les coordonnées x, y, z des points de la première courbe soient exprimées en fonctions d'une variable «, les coordonnées x^,y^, s, du point correspondant de la seconde courbe sont également fonctions de a. Si donc on veut considérer deux points infiniment voisins de l'une des courbes et leurs

correspondants sur l'autre, il suffit d'attribuer à « deux valeurs infiniment voisines,

a et a -t- â. D'après ce qui précède, les distances des points ainsi obtenus seront ' ^

l'une et l'autre de même ordre que â, et par conséquent ce sont des infiniment

petits de même ordre.

D'après cela, s'il était démontré, dans un cas particulier, que la distance de deux points infiniment voisins delà seconde courbe est constamment un infiniment petit d'ordre supérieur à la distance des points correspondants de la première, il faudrait conclure que les coordonnées des points de la seconde courbe sont constantes et que celle-ci se réduit à un point.

6. Si une ligne droite se déplace dans l'espace suivant une loi continue quelconque, de telle sorte que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à une nmriahle a, F angle de deux positions infiniment voisines de cette droite est de même ordre que la différence des valeurs correspondantes de a.

Pour le démontrer, supposons que par l'origine 0 des coordonnées on mène des parallèles aux diverses droites considérées, qui évidemment formeront entre elles les mêmes angles que celles-ci. Nous obtiendrons ainsi un cône dont les génératrices répondent aux diverses valeurs de la variable a. Si l'on coupe ce cône par une splière concentrique dont le rayon soit égal à l'unité, à chaque valeur de a correspondra un point de la courbe d'intersection. Si donc on considère deux valeurs infiniment rapprochées de cette variable, a et « + «?, les points M et M' qui leur correspondent sur la courbe sont (4) à une distance de même ordre que è, et par suite, dans le triangle isocèle OMM', l'angle 0 est de même ordre que c?, car

() MM'

on asin — =

7. Si les points d'une surface correspondent, un à un, à ceux d'une autre surface, de telle sorte qu'un point de l'une étant choisi, son correspondant se trouve déterminé sur l'autre, la distance de deux points infiniment voisins de l'une des surfaces est de même ordre que celle de leurs correspondants.

Considérons, en effet, deux points A et B de la première surface et leurs correspondants P et Q sur la seconde. Supposons que B se rapproche de A en suivant une certaine courbe; sur la premii're surface, Q se rapprochera en même temps de P en suivant une courbe correspondante. Si nous portons exclusivement notre attention sur ces deux courbes, nous rentrons dans le cas examiné plus haut, et nous pouvons conclure de ce qui a été dit (5) que les distances AB et PQ sont des infiniment petits de même ordre.

8. Donnons maintenant un exemple d'infiniment petit du second ordre. Considérons une courbe plane quelconque et la tangente en un point M. Si d'un point M'

situé sur la courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M on abaisse sur cette tangente une perpendiculaire M'P, M'P sera un infiniment petit du second ordre.

Et d'abord il est facile de voir, par la considération du triangle MM'P, que M'P est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; on a, en effet, dans ce

triangle.

M'P j^=sinPMM',

et comme l'angle PMM' est évidemment infiniment petit, MM' étant du premier ordre, M'P est (1 ) un infiniment petit d'un ordre supérieur. 11 nous reste à prouver que sin PMM' ou, ce qui revient au même, l'angle PMM' est un infiniment petit du premier ordre, car, cela étant, M'P sera le produit de deux infiniment petits du premier ordre et par conséquent du second ordre. Pour faire cette démonstration, considérons la tangente en M' à la courbe donnée, et soit I le point où elle coupe la tangente en M. Si l'on nomme e l'angle formé par ces deux tangentes, on a évidemment