MM'4-IM'M

en sorte que t est de même ordre que les angles IMM' et IM'M. 11 suffit donc d'établir que cet angle £ est du premier ordre. Or cela résulte de ce qui a été démontré (6). En efîet, la direction de la tangente en M est déterminée par l'abscisse du point M ; si donc cette abscisse augmente d'une quantité infiniment petite du premier ordre, la tangente s'infléchira de manière à former avec la position voisine un angle du premier ordre, et cet angle est précisément s.

Nous signalerons une conséquence immédiate de la proposition précédente. Si d'un point 0 on abaisse une perpendiculaire OP sur une ligne droite AB, et que l'on joigne ensuite le même point 0 à un point P' de la môme ligne infiniment voisin de P, PP' étant considéré comme infiniment petit principal, la différence OP' — OP est du second ordre, car elle est égale à la portion de la ligne OP' comprise entre le cercle décrit du point 0 comme centre avec OP pour rayon et la tangente à ce cercle qui est précisément PP'.

9. La même proposition s'étend aux courbes à double courbure. Si en un point M d'une courbe à double courbure on mène une tangente à cette courbe, la distance de cette tangente à un point M', situé sur la même courbe et infiniment voisin de

M, est infiniment petite du second ordre, lorsque MM' est considéré comme infiniment petit principal.

Il est clair, en effet, que la distance d'un point à une droite est de même ordre que celle de la projection du point à celle de la droite sur un plan choisi arbitrairement. On peut donc substituer à la courbe donnée sa projection sur un plan sans altérer l'ordre de la distance qui nous occupe, et par suite, en vertu du théorème relatif aux courbes planes, cette distance est du second ordre.

10. La géométrie nous fournit également des exemples simples d'infiniment petits d'un ordre supérieur au second.

Considérons une courbe plane quelconque et sa tangente en un point M. Si sur cette tangente on porte une longueur infiniment petite MT, et qu'on élève en T une perpendiculaire TM', terminée en M' sur la courbe, TM' sera (8) un infiniment petit du second ordre. Si donc on pose MT = A, on aura TM' = KA*, K ayant une limite finie lorsque h tend vers zéro. Considérons actuellement un cercle de rayon R,

tangent en M à la courbe donnée et situé du même côté qu'elle par rapport à la tangente. Prolongeons la ligne TM' jusqu'à ce qu'elle rencontre le cercle en M"; on aura, par la propriété connue du cercle.

TM'- '«^^

2R — TM" 2K — TM" et par suite

M'M" = TM" - TM' =. h^ ( ^-jt^^ - K

Si donc on détermine R de telle sorte que ( ■.,..,y. „ —K 1 ait pour limite zéro,

c'est-à-dire, en nommant K, la limite de K, si l'on prend R = -^% la distance M'M"

sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au second. ,

Il existe donc, en chaque point d'une courbe plane, un cercle tangent qui dans le voisinage du point de contact est infiniment plus voisin de la courbe que celle-ci ne l'est de la tangente. Ce cercle, qui joue un grand rôle dans l'étude des courbes, se nomme cercle osculaleur.

Remarque. — Les théorèmes précédents peuvent être en défaut pour des points

exceptionnels; c'est ainsi que le rapport "^--^ — îJ-Zlli£i, dont la limite ne peut pas

être constamment nulle, peut tendre vers zéro pour une valeur particulière de la variable.

Substitution des infiniment petits.

11. Lorsqu'on emploie les infiniment petits, c'est presque toujours comme intermédiaires, et ils figurent dans les raisonnements, soit par leurs rapports qui ont des limites finies, soit par la somme d'un nombre indéfiniment croissant d'entre eux. Lorsque l'on a ainsi en vue la recherche de la limite d'un rapport ou de celle d'une somme, on peut souvent simplifier la question à l'aide du principe suivant :

Dans la recherche de la limite d'un rapport ou de la limite d'une somme, on peut remplacer un infiniment petit par un autre dont le rapport au premier ait pour limite tunitè.

Soient, en effet, « et j3 deux infiniment petits, et a', |5' deux autres, tels que

lim-;= I, limf-, = I,

a jJ

on a identiquement

et en passant à la limite, puisque —, et |; ont pour limite l'unité,

Soit maintenant

(A) a, + aj + . . . + a„

une somme d'infiniment petits dont le nombre n augmente indéfiniment, à mesure qu'ils tendent vers zéro, de telle sorte que la somme converge vers une limite finie. Soient /3,, /S^,..., |3„ d'autres infiniment petits, tels que

hm — =1, hm -= 1,.. .,, hm — = i.

pi Pj Pn

Je dis que la somme (A) aura même limite que la somme

Soient, en effet,

— — i-T-*i, — — l-t-îi,«.., — — l-r^i, «1 a, a„

£). ê2.-> £/!, étant par hypothèse des infiniment petits. On déduit de ces équations

p. + ^1 4- . . . + p„ = a, + a, + . . . + «„ + a. Si -f- «3 Sj -H . • . 4- ot« «n-

Soit fi la plus plus grande en valeur absolue des quantités s,, s^,..., z„ (ïj est infiniment petit), il est clair que la différence

est moindre que

ïl (a, + aj-H . . . +x,i).

Or ïî tend vers zéro, et le second facteur a par hypothèse une limite finie, en sorte • que les deux sommes (A) et (B) ont même limite.

12. Pour que deux infiniment petits a et |3 puissent être substitués l'un à l'autre, il suffit, d'après ce qui précède, que la limite du rapport - soit l'unité, en d'autres termes, il suffit que l'on ait

c étant infiniment petit, ou, ce qui revient au même, *

p — a = as,

c'est-à-dire que la différence j3 — a soit infiniment petite par rapport à a. Le théorème (il) peut donc être énoncé comme il suit :

Deux infiniment petits x et ^ peuvent être substitués l'un à l'autre, et l'on peut négliger leur différence, soit dans la recherche d'une limite de rapport, soit dans celle d'une limite de somme, pourvu que celte différence soit infiniment petite par rapport à l un d'eux.

Ce théorème, quelle que soit la forme que l'on donne à son énoncé, est d'un grand usage dans le calcul infinitésimal.

Emploi des infiniment petits dans la solution de quelques problèmes. Détermination de la tangente à quelques courbes.

13. Nous montrerons immédiatement l'utilité des infiniment petits dans la solution de plusieurs problèmes de géométrie, et nous déterminerons d'abord la tangente à quelques courbes.

Pour déterminer en un point la tangente à une courbe, il faut, comme on sait, joindre le point de contact donné à un point voisin situé sur la même courbe, et chercher la limite de la direction ainsi définie lorsque le second point se rapproche indéfiniment du premier : en d'autres termes, et plus brièvement, il faut joindre le point de contact donné au point infiniment voisin de la courbe, l'expression *

infiniment voisin exprimant suffisamment le rapprochement indéfini de deux points considérés.

Le théorème suivant est souvent fort utile pour la détermination des tangentes.

Si l'on considère un point M d'une courbe et un point M' situé sur la même courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M, la direction limite de MM' ne change pas lorsqu'on substitue au point M' un autre point M", situé hors de la courbe, mais à une distance de M' infiniment petite d'ordre supérieur au premier.

Considérons, en effet, le triangle M M' M".

Les côtés de ce triangle étant proportionnels aux sinus des angles opposés, on a

sin M