M'M" = MM

sin M"

Si donc M' M" est, comme on l'a supposé, infiniment petit d'ordre supérieur à MM', sin M est nécessairement infiniment petit; il en est donc de même de l'angle M, et par suite les deux directions MM', MM", se confondent à la limite. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

14. Nous appliquerons le principe précédent à la solution de quelques problèmes.

Problème I'' . — On abaisse d'un point fixe O des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane ; trouver la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Soient OP, OP' les perpendiculaires abaissées du point 0, sur les tangentes en deux points voisins M et M', la ligne PP' est (5) un infiniment petit de même ordre que MM', que nous regarderons comme l'infiniment petit principal. D'après

cela, dans la détermination de la direction PP', on peut substituer au point P' un autre point qui en soit (13) à une distance infiniment petite du second ordre. Menons donc par le point M une parallèle à la tangente M'P'; cette parallèle coupe OP' en un point P", qui peut être substitué à P', car P'P" est égal à la distance de M à la tangente en M' et est (8) infiniment petit du second ordre. Mais les points P et P" sont situés sur une circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre;

la direction PP" a donc pour limite la tangente à cette circonférence. Ln tangente cherchée est donc également tangente au cercle qui passe par les points 0, M, P, et la perpendiculaire à la tangente que l'oii nomme la normale s'obtiendra par conséquent en joignant le point P au milieu de OM.

On peut remarquer que les rayons vecteurs OM et OP, menés du point 0 aux deux courbes lieux des points M etP, les coupent l'une et l'autre sous des angles OMP et OPT qui sont égaux comme ayant même mesure dans le cercle MPO.

Problème II. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane, et l'on prolonge chaque perpendiculaire OV jusqu'en un point Q, tel que OP . OQ r= a"^ , a étant une constante ; trouver la tangente à la courbe heu des points Q.

Soient Q et Q' deux points infiniment voisins du lieu considéré et correspondant à deux tangentes MT, M'T' dont les points de contact sont M et M'. On sait (5) que la- distance QQ' est infiniment petite de même ordre que MM', que nous prendrons pour infiniment petit principal. Menons par le point M, comme dans la solution du problème précédent, une parallèle MP" à la tangente M'P', et nommons P"

le point où cette parallèle coupe OP'. P'P sera, comme on l'a remarqué (8), infiniment petit du second ordre. Déterminons ensuite un point Q" tel, que OP". OQ" = a*; Q'Q" sera infiniment petit du second ordre, car OQ' est une fonction de OP', et OQ" est la même fonction de OP"; on passe donc de l'une de ces lignes à l'autre en attribuant à la variable OP', dans cette fonction, l'accroissement infiniment petit du second ordre P'P", et la fonction s'accroît alors (2) d'une quantité Q'Q" infiniment petite du même ordre, c'est-à-dire du second.

D'après cela, on peut substituer au point Q' le point Q", et la tangente cherchée t.'st la direction limite de QQ". Or les points P et P" sont situés sur la circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre, et l'on sait (ju'en portant sur les cordes d'un cercle issues de l'extrémité d'un diamètre des longueurs inversement proportionnelles à ces cordes elles-mêmes, le lieu des points obtenus est une ligne droite perpendiculaire à ce diamètre. Les points Q et Q" sont donc sur une droite perpendiculaire à OM, et la tangente cherchée est par conséquent la perpendiculaire

QK, abaissée du point Q sur OM. Les triangles OQK, OMP étant évidemment semblables, on a

OM.OK = OP.OQ = a',

et il en résulte qu'en opérant sur la courbe lieu des points Q, comme on l'a fait sur la courbe proposée, on reproduirait cette courbe même, en sorte que les deux courbes peuvent être regardées comme conjuguées.

Problème III. — Sur les normales à une courbe plane on porte une longueur constante à partir du point où chaque normale perce la courbe; trouver la tangente au heu des points ainsi obtenus.

Soient M et M' deux points infiniment voisins de la courbe donnée, et F, P' les points correspondants que l'on en déduit, de telle sorte que MP, M'P' étant deux

normales, on ait MP = M'P' = /. Joignons MM' et PP' et abaissons des points M et P des perpendiculaires MK et PK' sur M'P', on aura

KK' — MPcosa=l cos if,

(f étant l'angle de deux normales considérées; on en déduit

M' P' — KK' = M' K — P' K' = / ( j — ces y) = 2 / sin' ^ •

L'angle ip étant (6) infiniment petit du premier ordre, M'K — P'K' est, d'après cela, infiniment petit du second ordre. Or on a M'K = MM' cos MM'K ; MM' est infiniment petit du premier ordre, l'angle MM'K est infiniment peu différent d'un droit, donc M'K est infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; il en est donc de même de P'K', dont la différence avec M'K est du second ordre. Mais on a

P'K' = PP'cosPP'K,

et il faut par conséquent de deux choses l'une, ou que PP' soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, ou quePP'K diffère infiniment peu d'un angle droit. Dans la première hypothèse (5), la courbe se réduit à un point, et par suite la ligne MM' est un cercle de rayon /; dans la seconde hypothèse, qui, dans le cas général, est la seule admissible, l'angle PP' K étant droit à la limite, PP' est perpendiculaire à K'P',c' est-à-dire à M'P' qui à la limite ne diffère pas de MP, la tangente à la courbe lieu des points P est par conséquent parallèle à la tangente au point correspon-

dant de la courbe proposée, les deux courbes ont donc les mêmes normales, et sont (hles des courbes parallèles .

Problème IV. — Un angle de grandeur constante est circonscrit à une courbe donnée ; trouver la tangente à la courbe lieu des positions de son sommet.

Soient P un des points du lieu, M et N les points de contact correspondants des deux tangentes qui s'y rencontrent; P' un second point du lieu infiniment voisin de P, M' etN' les points de contact qui correspondent à ce second point. Les coordonnées du point P étant des fonctions déterminées de l'abscisse du point M, les distance PP' et MM' sont (5) des infiniment petits de même ordre; nous les regarderons comme du premier ordre. Cela posé, menons par les points M et N des parallèles aux tangentes en M' et N', nous obtiendrons un parallélogramme P"KP'L

dont les côtés sont (8) infiniment petits du second ordre, et l'on pourra (13) sub-^ stituer à P' le sommet opposé P" de ce parallélogramme. Mais P et P" sont situés sur un segment capable de l'angle P décrit sur MN comme corde, et PP" est à la limite tangente à ce segment, d'où l'on conclut que la courbe cherchée a la même tangente en P que ce segment, lequel est circonscrit au triangle MNP.

Problème V. — Déteiminer la tangente à la cycloïde.

La cycloïde est une courbe fort remarquable ; nous la prendrons souvent pouf exemple de l'application des méthodes générales. Commençons par donner sa définition.

La cycloïde est engendrée par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une de ses tangentes supposée fixe (*). ,

Soient OM une position du cercle générateur, et M la position du point qui décrit

(*) On dit qu'une courbe mobile roule .sans glisser sur une ligne fixe, lorsque colle courbe se déplace en restant constammenl tangente à la ligne fixe qu'elle vient toucher par ses différents points et suivant une loi telle, que chaque arc de courbe mobile soit égal en longueur à l'arc de la ligne fixe sur lequel ses points se sont successivement appliqués. Il résulte de raisons physiques qui ne seraient pas ici à leur place, qu'une roue de voiture roule à très-peu près sans glisser sur le sol, et que, celui-ci étant rectiligne, la courbe décrite par un point do la roue est une cycloïde.

la cycloïde. Considérons le cercle dans une position voisine CM', le point M étant transporté en M' et l'arc 01 s'étant appliqué sur la droite d'égale longueur 00': de telle sorte que 00' soit égal à la différence O'M' — OM.

Le point I de la circonférence MOI devant, par suite du mouvement, venir se placer en 0', pour servir de point de contact à la droite et au cercle ; on peut faire passer la circonférence MO de sa position actuelle à la position nouvelle O'M', à l'aide de trois mouvements successifs.

1° Une rotation autour du point de contact actuel 0, et dont l'angle égal à 100' soit tel, que le point I vienne se placer en I' sur la droite 00'.

2° Par suite de ce premier mouvement, la circonférence mobile estjdevenue sécante à la droite AOO' sur laquelle elle détache la corde 01' ; une rotation égale à la première et effectuée autour du point I' la rendra de nouveau tangente à cette droite.

, 3" Pour amener enfin la circonférence mobile dans la position désirée, il suffit de faire parcourir à tous les points des droites égales et parallèles à l'O', de manière à amener en 0' le point primitivement placé en 1, qui sera alors évidemment le point de contact de la droite et du cercle.

Le point M pour venir occuper la position M', qui est celle d'un point voisin sur la cycloïde, aura donc parcouru deux arcs de cercle de même angle ayant respectivement leurs centres en 0 et en I' et une droite égale et parallèle à l'O'.

On voit tout d'abord que cette dernière droite l'O', égale à la différence entre un arc infiniment petit et sa corde, est infiniment petite du troisième ordre (*), et n'influe pas par conséquent (13) sur la direction limite de MM'.

Quant aux deux arcs de cercle, leurs normales étant dirigées vers les points infiniment voisins 0 et F, l'angle sous lequel ils se réunissent tend vers zéro, et la ligne qui réunit la première extrémité de l'un à la seconde extrémité de l'autre a pour direction limite une perpendiculaire à la normale commune, c'est-à-dire à la ligne MO.

( * ) On démontre, en étudiant la trigonométrie, que la différence entre un arc et son sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc, et la différence entre l'arc et sa corde est double de l'excès de l'arc moitié moindre sur le sinus correspondant.

La normale à la cycloide est donc dirigée vers le point où le cercle générateur touche la droite sur laquelle il roule.

Détermination de quelques plans tangents.

15. Le plan tangent d'une surface en un point est le plan qui, en ce point, contient les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface. Démontrons d'abord l'existence d'un tel plan. Soient M un point pris sur une surface donnée, et MP, MQ deux courbes quelconques qui se croisent en M sur cette surface ; je dis que les tangentes à ces courbes sont dans un même plan avec la tangente à Une troisième courbe MR menée arbitrairement sur la même surface. Considérons, en effet, cette troisième courbe MR comme la position limite d'une courbe R'R" constamment située sur la surface et qui, coupant MP et MQ respectivement en A et,B, s'approche d'une manière continue de sa position limite MR. Les droites MA, MBet AB sont toujours dans un même plan, qui est celui des trois points M, A, B; leurs directions limites sont donc aussi dans un même plan; or la limite de MA est la tangente à la courbe MP, celle de MB la tangente à la courbe MQ, et AB, réunissant deux points infiniment voisins de la courbe R'R", est à la limite tangente à celte courbe, c'est-à-dire à MR. Le théorème est donc démontré. On voit cependant qu'il peut souffrir quelques exceptions en des points singuliers, parce que la ligne qui réunit deux points infiniment voisins d'une courbe n'est pas nécessairement tangente lorsque l'un de

ces points n'est pas fixe ; il pourra donc arriver que la ligne AB ne soit pas, à la #

limite, tangente à MR. Une pareille exception n'indique pas du reste une imperfection de la démonstration, car le théorème étant en défaut dans quelques cas singuliers, il faut bien que la démonstration laisse voir la possibilité de ces cas exceptionnels.

16. Le plan tangent à une surface S est à une distance infiniment petite du second * ordre de tout point M' de la même surface situé à une distance infiniment petite du

premier ordre de son point de contact M. Si l'on conçoit en effet un plan P mené suivant la droite MM' et perpendiculaire au plan tangent en M, ce plan coupera la surface S suivant une courbe MM', et la distance du point M' au plan tangent en M est évidemment la même que la distance à la tangente à cette courbe MM'; elle est par conséquent (8) infiniment petite du second ordre.

17. Pour déterminer le plan tangent à une surface en un point M situé sur la

surface, il faut considérer avec ce point M deux autres points infiniment voisins, 4,

N et P, et chercher la limite du plan MNP. MN et MP sont, en effet, à la limite, des tangentes à deux courbes tracées sur la surface et par suite leur plan est le plan tangent en M.

On verra, absolument comme (13), que les points N et P étant supposés situés à des distances infiniment petites du premier ordre de M, on peut leur substituer d'autres points N' et P' tels, que NN' et PP' soient infiniment petits d'un ordre supérieur. Une telle substitution n'altérant pas la direction limite des droites MN etMP, ne change pas non plus la limite du plan MNP.

Pboblkmk I. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les plans tangents d'une surface donnée ; trouver le plan tangent à la surface lieu des pieds de ces perpendiculaires .

Soient OP la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le plan tangent en A, OQ et OR, les perpendiculaires respectivement abaissées du même point 0 sur les plans tangents aux points Bet C, infiniment voisins de A. P, Q, R sont trois points infiniment voisins de la surface considérée, et le plan qui les contient est à la limite le plan tangent cherché.

Si les distances AB, AC sont infiniment petites du premier ordre, il en sera de même (7) des distances PQ, PR, et par conséquent on peut substituer aux deux points Q etR d'autres points Q, et R, tels, que QQ, etRR, soient infiniment petits du second ordre.

Nous'obtiendrons ces points Q, et R, en menant par le point A des plans parallèles aux plans tangents en B et C et abaissant sur ces plans des perpendiculaires OQ,, OR, : chacun de ces nouveaux plans est, en effet (16), à une distance infiniment petite du second ordre du plan tangent auquel il est parallèle, et la perpendiculaire commune à ces plans les coupe en deux points que l'on peut substituer l'un a l'autre; le plan tangent cherché est donc la limite du plan PQ,R, lorsque les points Q, etR, se rapprochent indéfiniment du point P. Mais le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point 0 sur tous les plans possibles menés par le point A est une sphère décrite sur OA comme diamètre, et le plan PQ, R, qui passe par trois points infiniment voisins de cette sphère, lui est tangent à la limite, en sorte que le plan tangent cherché est tangent en P à la sphère décrite sur OA comme diamètre.

Problème II. — On abaisse d'un point fixe 0 des perpendiculaires sur les plans tangents à une surface, et l'on prolonge chaque perpendiculaire OP Jusqu'en un point Q tel, que le produit OP.OQ soit égal à un carré donné a*; trouver le plan tangent à la surface lieu des points Q.

Par des raisonnements tout semblables à ceux qui ont servi dans la solution du problème précédent, on trouvera que le plan tangent demandé au point Q est perpendiculaire sur la droite OA qui joint le point 0 au point de contact du plan tangent sur lequel OQ est perpendiculaire et qu'il coupe le rayon OA en un point B, tel, que OA.OB = a^, en sorte que la surface proposée et la surface lieu des points Q

peuvent être considérées comme conjuguées, c'est-à-dire qu'en opérant sur la seconde comme on l'a fait sur la première, on reproduirait précisément celle-ci.

Nous ne développerons pas les raisonnements qui ne peuvent offrir aucune difficulté à ceux qui ont bien compris le commencement de ce chapitre.

Problème III. . — Une surface S étant donnée, on détermine une seconde surface S' dont chaque point se déduit de l'un des plans tangents à la suif ace S, à l'aide d'une certaine construction bien déterminée. On demande de déterminer l^ plan tangent en un point de la surface S'.

Soient A un point de la surface S, MN le plan tangent en ce point, et P le point de la surface S' déduit du plan MN par la construction convenue.

Le plan tangent cherché passe par le point P et par deux points, Q et R, déterminés à l'aide de la même construction appliquée aux plans qui touchent la surface S en deux points B et C infiniment voisins de A. Or on peut, à ces plans tangents aux points B et C, substituer les plans parallèles menés par le point A, qui en sont (16) situés à des distances infiniment petites du second ordre, et remplacer Q et R par les points Q, et R, déduits de ces nouveaux plans. Il est clair, en effet, que les coordonnées de l'un de ces points, quelle que soit la construction qui le donne, dépendent des coefficients de l'équation du plan dont on le déduit, et que ces coefficients subissant un changement infiniment petit du second ordre, le changement correspondant des coordonnées est un infiniment petit (2) de même ordre.

Mais les points P, Q, , R, , sont trois points infiniment voisins, situés sur la surface lieu des points déduits à l'aide de la construction convenue de tous les plans menés par le point A; le plan tangent cherclié n'est donc autre chose que le plan tangent à cette dernière surface.

On voit, d'après cela, que le plan tangent à la surface S' pourra se déterminer en substituant aux plans tangents à la surface S des plans passant par un point fixe. Ciette substitution fait disparaître la difficulté provenant de la nature plus ou moins compliquée de la surface donnée.

Cette remarque générale comprend implicitement la solution des problèmes I et il et celle d'une infinité d'autres du même genre. 11 faut bien remarquer toutefois que la construction, entièrement arbitraire d'ailleurs, à l'aide de laquelle s'obtiennent les points du lieu considéré, doit être indépendante de la position du point de contact.

Si, par exemple, on abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan langent à une surface donnée, et que l'on porte, sur cette perpendiculaire, une longueur OQ égale à la distance O.M du point 0 au point de contact, le plan tangent au lieu des points Q ainsi définis ne peut pas s'obtenir h l'aide de la remarque précédente, parce que la position de ce point Q ne dépend pas seulement de celle du

plan tangent qui a servi à le déterminer, mais aussi de celle du point M où ce plan touche la surface.

Problèmk IV. — D' un point fixe Q, on mène à un point quelconque M d'une surface donnée S, un rayon i^ecteur OM, par le point M on mène la normale MN à la surface S, et par le point 0, dans le plan OMN, une droite OP perpendiculaire et égale en longueur OM. On demande le plan tangent à la surface 1 lieu des points P.

Soit 3IT la projection de OM sur le plan tangent en M à la surface S. Cette ligne est yidemment tangente à la courbe d'intersection de la surface S par le plan OMN. Supposons que le pointM se déplace sur cette courbe, on pourra admettre, en négligeant les infiniment petits du second ordre, qu'il se transporte en un point M, situé surMT. Si la normale en M, à la surface S était située dans le plan OMN, le point correspondant de la surface 2 serait situé dans le même plan à l'extrémité d'une droite PQ, perpendiculaire et égale en longueur à 3IM,. Il est clair, en effet, que les triangles OMM, et OPQ seraient égaux et auraient les côtés perpendiculaires. Mais les deux points M et M, étant situés sur la surface S, à une distance in-

finiment petite du premier ordre l'un de l'autre, la normale en M, fera en général un angle infiniment petit du premier ordre avec la normale en M et aussi avec le plan OMN; le point P, de la surface 1 qui correspond à M,, ne coïncidera donc pas avec Q, il s'obtiendra en élevant une droite OP, égale et perpendiculaire à OM,, dans un plan passant par OM, et formant avec le plan OMNPQ un angle infiniment petit, et il est clair que pour obtenir cette droite il suffit de faire tourner OQ, sans changer sa longueur, d'un angle infiniment petit autour de OM,; mais, dans cette rotation, le point Q décrit un arc de cercle infiniment petit QP, (jui peut, si on néglige les infiniment petits du second ordre, être remplacé par sa tangente, laquelle est perpendiculaire au plan QPOMM,, et par suite le planP, QP est perpendiculaire à MT, et il en est de même de la ligne PP, qui, réunissant deux points infiniment voisins de la surface 2, est tangente à cette surface.

Nous allons montrer qu'une seconde tangente de la surface 2 est perpendiculaire à MT.

Pour trouver cette seconde tangente, supposons que le point M se déplace sur la surface S et vienne en un point que nous nommerons Mj, situé à l'extrémité d'une perpendiculaire de longueur infiniment petite MM^, élevée en M au plan OMM,. l.e point xMj ainsi défini peut être considéré, aux infiniment petits du second ordre près, comme appartenant à la surface S, car la ligne MMj étant perpendiculaire au plan OMN, est aussi perpendiculaire à la normale MN et par suite située dans le plan tangent.

Pour construire le point de la surface 1 qui correspond à M^, il faut joindre OM2 et élever au point 0, dans le plan inconnu qui passe par OMj et par la normale M^N^ à la surface S, une perpendiculaire à OMj égale en longueur à cette ligne. Quelle que soit la direction inconnue de la normale MjNj, cette perpendiculaire, que nous nommerons OP^, est située dans le plan H, mené par le point 0 perpendiculairement à OM2 ; or ce plan contient OP, et forme avec le plan POM un angle infiniment peu différent d'un droit; d'ailleurs on a (S), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

OM,= OM, et par suite