j^dx^ -J^dr-h-r■dz—Q

^ ' dx dy - dz

(4j xdx + ydy ■+■ zdz=^o.

entin ou a

(5) x]-hr] + ^i=-^'"+r'-^^'-

En (JitÏÏM'entiant les équations (i) et (5) et leur adjoignant l'équation (3) on a — [xdx, + xdy, -^ zdz,)^Xt dx -\-y\ dy + z, dz,

d zt , da , dtf , x,dx, + y\ dj\ + z,dz=^ xdx -+■ y dy ■+- zdz.

Mais les équations (2) (3) et (4) étant compatibles, montrent que le déterminant des coefficients de dx, dy, dz, dans les seconds membres des équations (6j, est égala zéro, et, par conséquent, il existe trois facteurs, i, n, m, tels, que les seconds membres multipliés par ces facteurs donnent une somme identiquement nulle; il en est donc de même pour les premiers, et l'on a

( 7 ) [mXi— x) dx, + ( niy\ — y) dy, + [mz, — z) dz,=^o.

ni étant défini par les équations

, + mx -+- n

d^ dx

+ niy + n

df Ty

Zi

-h mz + n

dtj

Tz'-

dont l'une est la conséquence des deux autres.

On verra, comme dans les problèmes précédents, que, d'après l'équation (7), la normale à la surface lieu des points x,, y, , z, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à mx, — x, my, — y, mz, — z. Le problème proposé est donc résolu. Mais ce résultat peut être interprété, comme il suit, d'une manière élégante.

Considérons le triangle OMK formé parla droite OM, la normale MN et la ligne OP.

En écrivant que la somme des projections des côtés de ce triangle sur les axes des

coordonnées est nulle, on a

OKx, , dx jtOM

\/x' -h r' -t- z'i //"?\' l"f\ l^fV \i x'^ -^- y- + z-