COS V

/dh-y

d¥ -^ dz

^ /(dVy (dFy idFy

VU) -^[-d^-) -^U)

Il est clair, en eft'et, d'après les équations (i), (95j, que les trois cosinus sont

proportionnels à -j-, -j-, -j-i et la somme de leurs carrés étant égale à l'unité, leurs

valeurs doivent être égales, ou égales et de signes contraires à celles que nous venons d'écrire. Cela posé, nommons s une longueur infiniment petite, portée sur la normale extérieure. Les coordonnées de l'extrémité de cette longueur seront

x-f-Efos)., y -h £ cos II, z -h s cos V,

et l'on aura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

h [.r+ £fos A, > -f- jcosp, z + scosv) — t [x, y, z) ^ -j- «cosX + -j- s ces p 4- -j- "'asv.

Mais par hypothèse

De plus.

et par conséquent,

l'"!.r-4-scos)., y

dx

vm

idVy

(dFy

COS p. ■-

vm

i dF\'

(dFy

^\dz)

COS ï =:

dz

dpy

/dFy

dF\^ (dFy

dx) ^[drl

/dF [dz

[dF\' /dFy

La noruialc ayant clé menée extérieurement, le premier membre est positif, et par lonséqueul il faut, dans le second membre, adopter le signe supérieur, ce qui exige qu'on l'adopte également dans les équations précédentes.

97. Les formules qui font connaître la direction de la normale à une surface ayant une grande importance, il ne sera pas inutile de les démontrer directement, indépendamment de l'équation du plan tangent.

Soit

ré(jualion d'une surface : si, parlant d'un point de celte surface dont les coordonnées sont a:, Y, z, on passe à un point voisin dont les coordonnées sont .r-f- dx, Y -+- dy, Z -h dz, la fonction F devant rester nulle quand on substitue aux trois variables leurs nouvelles valeurs, l'accroissement infiniment petit de F sera égal à zéro, et l'on aura

dF

dx

dx ■

-j- dr dy

dF dz

dz.

(lelle équation est vraie en négligeant les infiniment petits du second ordre, si d.v, dy, dz, sont rigoureusement égaux, comme on l'a .supposé, aux accroissements infiniment petits de x, de y et de :;; mais elle est rigoureusement exacte, si dx et dy, représentant les accroissements de x et de y, dz est égal à la différentielle de :,

'J(i. PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

laquelle ne diffère, comme on sait (53), de l'accroissement de s, que d'un infiniment petit du second ordre.

En entendant les choses de cette manière, l'équation ( i ), qui est rigoureusement exacte, prouve que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

proportionnels Si -j- ■• -j- ■, -j- ■> est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont

les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz; cette dernière direction étant celle de la droite qui réunit deux points infiniment voisins de la surface, est celle d'une quelconque de ses tangentes, et la première est par conséquent celle d'une droite perpendiculaire sur toutes les tangentes, c'est-à-dire de la normale.

Détermination de quelques plans taiîgents.

98. Nous appliquerons les formules précédentes à quelques exemples. Exemple I. — Cherchons le plan tangent à la surface représentée par l'équation

fi) k X — az — <p ( r — bz)—Q.

L'équation du plan tangent est, d'après les formules précédentes,

'-•*— (« — r)?' [r—bz]-~-[a — b-i'[y-bz)][v-z) = o.

Les cosinus des angles formés par la normale avec les axes de coordonnées sont

proportionçels à

I, — tif' , — a-H-ès', et comme on a

«4- (- (p')6+(ftç' — fl) =0,

on voit que la normale de la sqrface esj: perpendiculaire à la droite dont les

équations sont

X =: az, y=: bz,

et que par suite le plan tangent est parallèle à cette droite.

L'équation ( i ) représente en effet une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite a- = az, y= bz, et le plan tangent, contenant toujours Une génératrice, doit être, comme on l'a trouvé, parallèle à cette droite.

Exemple JI. — Considérons, en second lieu, la surface dont l'équation est

(i) ax + by-i-z = ^{x' + }-'-^-z').,

le plan tangent a pour équation

[t — x] (a— ^xif').-+- (m — y) {h — 2y<f') -{- [v — z] [ Là normale a pour équations

/ — X II — r f — z

a — a.x ^' b — 2/(f ' 1 — Q.Z'ij'

La surlace représentée par l'équation ( i ) est de révolution autour de la droite dont les équations sont

/ = ac,

M = bv.

La géométrie montre que cette droite est rencontrée par toutes les normales à la surface. Il est d'ailleurs facile de le vérifier d'après leur équation générale trouvée plus haut.

Si, en effet, dans les équations (2) on remplace t par av et u parfec, elles deviennent

av — X bv — y v — z

a — ■îxrf' b — 2jç' I — 2Z<f'

auxquelles on peut satisfaire en posant

99. Nous résoudrons enfin quelques problèmes, dans lesquels nous nous proposerons de déterminer le plan tangent à une surface suffisamment définie, mais dont l'équation n'est pas donnée.

Problème 1 . — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation ; trouver le plan tangent à la surface 1 décrite par le pied P de cette perpendiculaire.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface S, le plan tangent en ce point a pour équation

dz , . dz , ,

la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan est représentée par les équations

dz

ax

dy Si entre les équations ( i ) et (a) on élimine -^ et ^> on obtient la relation

qui a lieu entre les coordonnées x,y, zd'un point M de la surface S, et les coordonnées t, u, V du point correspondant P de la surface 1.

98 PREMIÈRE PAUTIE. - CAtCUL lilFFÉRENTlEL.

Efl difïéreatiant cette équation, on trouve

(ai' — z) (h' -\- {1 1 — x'jilt -\- [■}. u — y) du — c dz — tdx — u dy = o.

D'ailleurs on a

ida: + udr ■+- vdz :^ o.

t, u, t' sont en effet proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent à la surface S au point M, et dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles formés, avec les axes, par la ligne qui joint, sur cette surface, le point *-,/, :; à un point infiniment voisin, et il est clair que ces deux directions sont perpendiculaires. L'équation (4 se réduit, par suite, à

(5) {7.t — x] dt + {-iu — /) du -h (9.V — z) dv=^ o.

Elle prouve que la droite qui fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dt, du, dv, c'est-à-dire une tangente quelconque à la surface 2 au point P, est perpendiculaire à celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels à ( 2^ — x), (aw —y), (av — z), c'est-à-dire à la droite qui joint le point

dont les coordonnées sont t, u, v, à celui dont les coordonnées sont -»-»-• Il

résulte de là que, comme on l'a démontré (14), la normale à la surface 1 passe par

le milieu de la droite OM dont les coordonnées sont -)->-•

Problème II. — On abaisse d'un poifitO une perpendiculaire sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation, et Ion prolonge cette perpendiculaire OP jusqu'au point Q, tel que

OP.OQ;=«%

a étant une ligne donnée. Trouver le plan tangent à la surface 1, lieu des points Q.

Soient M le point de contact du plan tangent à la surface S, et w, y, z les coordonnées de ce point. L'équation du plan tangent est

la perpendiculaire OP a pour équations, comme dafns le problème précédent,

, , , ^ dz dz

et si l'on nomme x,,y,, z, les coordonnées du point Q, on aura par eonséqueat

dz dz

OQ» = ^^+j: +..;=. — =

a> «'[■+(È)^t(II]

dz dz \-

Éliminant -1- et -T^ entre les équations précédentes, il vient

Cette seule équation suffit, comme nous allons le voir, pour la détermination du plan tangent cherché. Elle donne, en effet, par la différentiation.

Or on a

o = xdx^ + ydft -h zdzt -{- x^dx-i^ X\ dy-\- z, dz. x,dx + f, dy + z, dz = o,

car la ligne OP forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels A X,, y,, z,, et cette ligne étant perpendiculaire au plan tangent de la surface donnée, fait un angle droit avec une tangente à la surface S, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz. L'équation (4) devient donc

o =xdxi -4- ydy, ■+- zdz^

et elle exprime que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^, dy,, dz,, est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont les cosinus sont proportionnels à .T,y, z, c'est-à-dire qu'une tangente quelconque à la surlace lieu des points Q, est perpendiculaire à la droite OM qui joint l'origine 0 au point correspondant M de la surface S. Le plan tangent cherché est donc perpendiculaire à cette ligne OM, ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (14).

100. Los solutions des deux problèmes précédents ont présenté une simplification remarquable qui tient à une circonstance géométrique qui leur est commune; cette simplification se présenterait également pour tous les problèmes renfermés dans l'énoncé suivant :

Problème IU. — Les points d'une surfuce 1 se déduisent, suivant une certaine loi donnée, mais d'ailleurs quelconque, des plans tangents d'une surface donnée S; trouver le plan tangent en un point de la surface 1.

Soi( iii r, V, z les coordonnées, d'un point de la surface S; le plan tangent en ( <■

point a pour équation

dz , , dz

"=('-^)s + ^"-^)rf^-

Les coordonnées x^,yt, z, du point correspondant de la surface 1 sont, par hypothèse, des fonctions données des coefficients de cette équation. Si donc on pose

on aura

et par suite

Mais de l'équation on déduit

dz dz

di~P' dy~'^'

z — px — qyz=iu,

dx, = — dp -i — =— dq -+■ ~- du, dp dq ^ du

, d<f^ , da-, dfi ,

^r>==^dp+^dq+^du,

dz, = ^dp+^dq+^du.

dp '^ dq du

U'=z — px — qy

du = dz — pdx — qdy—xdp — ydq, c'est-à-dire, comme on a, (54), dz—pdx-hqdy,

du=: — xdp — ydq.

Par suite, ',

En éliminant dp et dq entre ces équations, on obtiendra une relation de la forme

h.dx, -+■ Bûfj, + Cdz, = o, dont on conclura, comme on l'a fait pour les équations (5) des problèmes 1 et II,

que la normale à la surface 2 au point a?,, y,, z.^, fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à A, B, C.

Le succès de la méthode tient, on le voit, à ce que du s'exprimant en fonction de dp et de dq, on peut, sans différentiations nouvelles, former une relation du premier degré entre <fe, , dy, , dz,. On peut remarquer que les valeurs de dx, , dy,, dz,, ae • contenant que dp et dq, le plan tangent à la surface 1 est le même que si le plan dont on déduit les points de cette surface changeait de direction en passant toujours par le même point M; car p et q sont les coefficients angulaires de l'équation du plan, et les variations dx, dy, dz des coordonnées du point de contact ont entièrejiient disparu du résultat.

Ce résultat s'accorde avec ce qui a été dit ( 14 ) .

101. Lorsque les points d'une surface se déduisent des points d'une autre surface et des plans tangents en ces points, le plan tangent en un point de la surface ainsi formée ne peut pas toujours se déduire de la connaissance du point et du plan tangent correspondant de la surface primitive. Nous donnerons cependant deux exemples de problèmes pour lesquels il en est ainsi.

PnORLÈME IV. — A partir des différents points d'une surface donnée S,, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante l; chercher la normale à la surface 1, lieu des points ainsi obtenus.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface S; a, p, 7 les angles que la normale en ce point forme avec les axes, et x, , y, , z, les coordonnées de l'extrémité de la longueur / portée sur cette normale; on a évidemment

X, = a: + /cosa, jr,=X-hlC0Sp, Z,= Z + Icosy,

et, en différentiant,

dx, = dx + Id ces a, .

rfj, =zdy-ir Id ces p, dzi=:flz + Id COSy.

Si on ajoute ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos |3, la troisième par cos y, on obtient

cos a dx, ■+- cos p dy, ■+■ cos j dz, = cos a dx + cos p dy ■+■ cos 7 dz

■+- /(cos a rfcOS a-+- ÇOS prfcOS P -H COSyrfcOSy;.

Or on a

cos' a + cos' p + cos' 7 = 1,

d'où l'on conclut en différentiant,

COSacfcOSa -f- COS p </ COS P -+- COS 7 d COS f = o.

D'ailleurs la direction de la normale étant perpendiculaire à une tangente quelconque de la surface S, on a

CCS a Jx + cos § dy -f- COS 7 r/s =; o,

et l'équation ( r ) devient alors

cos a dXi -H cos P </j, -H COS 7 rfz, = o,

d'où l'on conclut que la normale à la surface 1 au point x^,y^,.z, fait, avec les axes, des angles égaux à a, j3, y, et qu'elle coïncide par conséquent avec la normale au point correspondant de la surface S. C'est ce qui a déjà été démontré (14).

Problème V. — On donne un point 0 et une surface S, on joint le point 0 à un point quelconque M de la surface S ; par le rayon OM on mène un plan contenant la normale MN de la surface au point M; dans le plan OMN on élève, par le point 0. une perpendiculaire OV au rayon OM, égale en longueur à ce rayon: trouver le plan tangent à la surface lieu des points P.

Coupons la surface S par une sphère de rayon OM ayant son centre en 0 : il est facile de voir que le rayon OP défini dans l'énoncé précédent, et sur lequel on doit porter une longueur OP = OM, est perpendiculaire au plan qui touche, suivant la génératrice OM, le cône dont le sommet est en 0 et qui a pour hase h courbe d'intersection.

Soient x,y, z les coordonnées du point M, x^, y^, z, celles du point P; les rayons vecteurs OM et OP étant perpendiculaires, on a

(i) xxi + ry\-^ zZi=^o.

De plus, la ligne OP étant perpendiculaire à la génératrice de cône infiniment voisine de OM, on a aussi

(a) x,dx -h ytdr-{- z,flz =:o.

dx, dy, dz, désignant les différentielles de x, y, z, lorsqu'on reste sur la courbe d'intersection de la sphère avec la surface S. Si l'équation de la surface S est

dx, dy, dz sont définis par les équations

l^^ * dt> . da , </<? ,