CHANGEMENTS DE VARI.4BLES

Injluence de la variable indépendante sut les dijférentielles d'ordre

supérieur au premier.

167. Lorsqu'on ne considère que des différentielles du premier ordre, le choix de la variable indépendante est indifférent, et il n'est pas nécessaire d'en faire mention. Si l'on vient à changer cette variable pour une autre qui lui soit liée d'une manière quelconque, les expressions différentielles ne sont pas modifiées. 11 en est tout autrement pour les différentielles d'ordre supérieur; pour qu'une différentielle seconde d'^y ait un sens précis, il faut indiquer quelle est la variable

indépendante, et si x est cette variable, on écrit souvent, pour cette raison, ^ doc^ ^ ^

au lieu de d^y, qui serait plus simple, mais moins clair. i^ . • ♦ #^

Prenons pour exemple la fonction y = a;*, on a, en prenant x pour variable

indépendante, y<>J*'#'

dy ■= 4 .*■' dx , d'y = i ».r' dx*^^

Prenons actuellement pour variable indépendante le carré x"^ et désignons-le par M, on aura

y= u', df= ludu, d\y' = 2 du\

Si on remplace u et du par leurs valeurs en x et dx, on déduit de là

dy = ^x'dx, d'y = 8x'dx', et l'on voit que dy n'a pas change, mais d^y n'est plus le même.

168, La raison du fait que nous venons de signaler est bien simple. Lorsqu'on prend x pour variable indépendante, dx est constant, et lorsqu'on adopte une nouvelle variable indépendante dont la différentielle est regardée comme constante, dx devenant variable, la différentielle du produit (p'{x)dœ n'est plus la même.

Dans l'exemple choisi plus haut, on a posé x^ = u, et par conséquent x = \J u,

dx — — ^, d' X —. — y u~'^du''.