Denvees de 2^ pour a; = o. — En posant

ces m arclangar

et calculant m et ^' on vérifie facilement la relation

, , ,, d'u , , du , .

(i-f-,r') -j—^ -^ [im-'r-i)x-j- -\-m[m-ir\]u^=o\

on en conclut, en différentiant p fois et faisant x = o,

/dP-^'u\ , ., .deu

136 PREfflÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et par suite, si/? est impair et égal à a ^ -t- i , et si p est pair et égal à 2 A,

Dérivées et différentielles d' ordre supérieur pour les fonctions de plusieurs "Variables indépendantes . Notation adoptée.

159. Lorsqu'une fonction contient plusieurs variables indépendantes, on peut en former la dérivée par rapport à l'une quelconque d'entre elles ; la notation au moyen de laquelle on représente cette dérivée est la même que dans le cas d'une seule variable indépendante. Si l'on a

les dérivées de u par rapport à x,y, z, sont désignées (50) par -t^, -j^, ^- Les dérivées du second, du troisième ordre, etc., par rapport à l'une de ces variables, seront désignées de même, conformément aux notations indiquées plus , ^ (/'m d'^ii d'u

Lorsque l'on prend la dérivée de u par rapport à x, puis celle du résultat par rapport -à y, ou plus généralement lorsqu'on prend un certain nombre m de fois la dérivée par rapport à une variable x, puis un nombre n de fois la dérivée par rap-

port à j, on désigne le résultat de ces opérations par , ^^ , y

De même, si l'on avait à prendre la dérivée m fois par rapport à x, n fois par

rapport aj, puis/? fois par rapport à z, on désignerait le résultat par , —

ci^ (ty* uz"

Possibilité d'intervertir les différentiations .

160. L'étude des dérivées prises successivement par rapport à dos variables différentes, conduit à un résultat important. L'ordre des opérations n'influe pas sur le résultat.

Pour commencer par le cas le plus simple auquel se ramènent tous les autres, supposons que l'on prenne la dérivée d'une fonction u d'abord par rapport à x, puis la dérivée du résultat par rapport à j, et prouvons qu'il reviendrait au même de

prendre la dérivée par rapport à y, puis celle du résultat par rapport à ,r. Démontrons, en un mot, que l'on a

dUi

soit

on a par déiinition

dxdy dydx '

H étant infiniment petit en même temps que Lx. Si l'on donne, dans cette égalité un accroissement Ajk j, et qu'on divise par Ay les accroissements correspondants des deux membres, on aura

dx y(x + Ax, J+Aj) — y(x + Aa;, j) — y(jr, J+Aj) +<p(^, j) ^

Lx \y A )-•

on a de même

fix , )-4- A.r,

c, tendant vers zéro avec ^y, et en changeant x en a? -4- Aa; et égalant les accroi-ssements des deux membres respectivement divisés par A a?, on en conclut

dy <({x + ^x, r-ir ly]—<f{x -ir ^x, y) — <f[x, y+ iiy) +<p(j;, j) A^, ^x Aa:Ar ^x

Ordaiisces formules, comme (136) et pour les mêmes raisons, — et — '- ont pour

limite zéro, d'ailleurs les premiers termes des seconds membres dans les équations ( I ) et (2) sont identiquement les mêmes, les premiers membres de ces équations ont donc la même limite. On a donc

lim

du du

dx ,. dy

= uni —

r'est-a-dire

■oinme un rivait annoncé.

d'u d'u dx dy dy dx

Ktl. Deux différentiations consécutives par rapport à des variables différentes pouvant être interverties, il est clair ([lu si IHn a un nombre quelconque de diffé-

ir,8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

rentiations à effectuer successivement, l'ordre dans lequel elles s'exécuteront est indifférent. La démonstration est identiquement la même que celle qui sert en arithmétique pour prouver que l'ordre de deux facteurs consécutifs pouvant être changé dans un produit, on peut, par cela seul, disposer tous les facteurs dans un ordre arbitraire.

Différentielles des divers ordres pour les fonctions de plusieurs

variables.

162. Soit u— r^ [x, y) une fonction de deux variables indépendantes. Si l'on attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour la fonction ly {x, y), un accroissement infiniment petit que l'on peut remplacer par tout autre infiniment petit ayant avec lui un rapport dont la limite soit l'unité. On a vu (54) qu'en désignant par dx et rfj les accroissements infiniment petits des deux variables, on peut ainsi représenter l'accroissement correspondant de la fonction par

, du , du , au= -r- dx H — r dr.

dx df ■'

Si l'on attribue de nouveau à a; et à y des accroissements égaux à ceux qu'ils ont déjà reçus, du, qui est fonction de x et dej, aura lui-même une différentielle que l'on désigne par d^ u, et l'on aura

En attribuant de nouveau à a; et à j des accroissements égaux à <ir et à dy, d^ u, qui est une fonction de x et de y, aura une différentielle d^ u donnée par la formule

, d'u , . dUi , , - d' u , , d^ u , ,

d' u = -T — dx^ -+- 3 -, . , du^ dr + 3 —, — =— dx dy' -\ — p— dyK dx^ dx^ dy -^ dxdy^ ■' df ■'

En continuant à former les différentielles successives qui correspondent à des accroissements constants attribués à a; et à/, on trouve par induction la formule

rf"M , d^u , , , n[n.— \] d"n , , , , d'u , „

d"u = —, — dx" + n -, T dx'-' dy -\ i ' dx"-^ dr' + ■ ■ ■ + -j— - dy" ,

dx" dx"-' dy '' 1.2 ax'-'uy' •' dy" •'

que l'on écrit symboliquement

, (du , du , \"

d"u=^^dx + ^^,dyy

Dans le second membre de cette formule, il faut remplacer les puissances de du par

(les différentielles d'indice égal à leur exposant, ainsi

7hc) \7h-) '

I devra être remplacé par

dP+ii

dxi' dy

Cette formule a été vérifiée pour les valeurs i, a, 3,..., de «. Pour montrer qu'elle est générale, il suffit de faire voir qu'en admettant l'équation symbolique

, l du , du , ,

</" M = ( -r- dx -H T-. «T ) 1

on en déduit, en adoptant les mêmes notations,

l du , du , \"+'

d'^'u = (^^dx + -^dr) ■

Pour le démontrer, remarquons que, rf"« étant une fonction de a; et dej, la différentielle est donnée par la formule

''""' " "" fS ^'^""^ '^•^ "^ d^- ^"^""^ '^■^"'

il faut donc prendre la dérivée par rapport à a; de l'expression qui s'écrit symboliquement

du , du , \"

^dx+^,drj,

multiplier cette dérivée par dx, puis prendre la dérivée de la même expression par rapport à y, et la multiplier par dy. Or si l'on multipliait l'expression par

afin de former

du , du ,

^j^^-dr,

du dx

du \ ""^'

on aurait précisément les mêmes calculs à faire, et les résultats s'écriraient absolument de la même manière En prenant en effet la dérivée par ra|)port à .r d'un terme quelconque

. df+1 u

dxP dy

dxPdy^,

et nuiUij)liant celle dérivée par dx, on trouve

dxP+'dfi -^

ce qui est identique, pour l'écriture, au terme qu'on aurait obtenu, en multipliant symboliquement

dPu diu

' dxP dy'i '

par T- dx. De même en prenant la dérivée par rapport a y, et multipliant par dy, les termes obtenus s'écriront de la même manière que ceux que l'on

obtiendrait, en multipliant l'expression par -j^ "c^K. en sorte que l'opération qui

fournit la différentielle totale rf"+' u, conduit à écrire les mêmes termes que la multiplication par

du , du ,

dx + -^^dy.

Si donc on admet que d" u s'écrive comme

fdu , du , X"

on peut en conclure que «?""*"' u s'écrira comme

/du , du , \"+'

163. La même règle s'applique aux différentielles d'une fonction d'un nombre quelconque de variables: si l'on a

on trouve, absolument de la même manière,

,„ (du , du , du , du ,\"

la puissance étant entendue symboliquement comme dans l'exemple précédent.

16i. Si une fonction dépend de plusieurs variables qui soient elles-mêmes dos fonctions connues d'autres variables considérées comme indépendantes, on doit remarquer que les formules précédentes ne s'y appliquent pas. Soit, par exemple,

p el q étant des fonctions connues des deux variables a; et j; on a

, du , du , du=-^dp + -^dg.

Car lorsqu'il s'agit de différentielles premières, peu importe le choix des variables indépendantes, et rien (138) ne les distingue essentiellement des autres. On peut donc supposer que p et q remplacent r ctj. Mais si l'on veut calculer d^ u, il no faut pas oublier que l'on désigne ainsi la différentielle de du, lorsqu'on attribue, de nouveau, à a; et àjdes accroissements infiniment petits égaux à ceux qu'ils ont déjà reçus. A ces accroissements égaux, correspondront, en général, des accroissements inégaux de p et de q, en sorte que, en différentiant l'expression ( i ) pour former d^u , dp et dq ne devront pas être regardés comme constants, on aura donc

j, d'u , ^ d'u , , d'u , ^ du , du ,

d'-=^^.'¥+-^^<lpdq+^^dq'^^d'p-^^d^q,

et en continuant ainsi l'on est conduit à des formules compliquées et rarement utiles.

Dérivées d'ordre supérieur des fondions implicites.

165. Les considérations précédentes permettent de calculer les dérivées d'ordre supérieur des fonctions implicites de plusieurs variables; la méthode la plus simple consiste souvent à former la différentielle totale de la fonction dont on veut avoir les dérivées partielles, et ces dérivées sont les coefficients des diverses puissances des différentielles de variables indépendantes, divisés respectivement par les facteurs numériques connus.

Il suffira de dévelojjper cette méthode sur un exemple. Soient

Z =<f[x, et),

On propose de déduire, de ces équations, -r-y ' i — r.' j-,' Pour y parvenir, nous

calculerons rf' s, en supposant dv et rfv constants, et quand nous l'aurons obtenu sous la forme

rf'z = Arfx* -h 2 Brfxrfj + C</v', I. •^ ai

nous aurons

dx' ' dxdx ' dx'

Les équations proposées donnent, en remarquant que d'^ a: et d^y sont nuls, mais que d^!x ne l'est pas,

, do j d<f j dz =: -r- dx -\- ~P- da., dx do.

^y^Tx'^'^-^TJ"-

d' z — -A. dx'' -\- % ^-4- dx da + '-j-^ d a.^ -ir '^ d' 7i ,

dx''

dx da.

dix.''

rfi; da.

d^ 7 , d'^ , , d'il , d-i> ,

o = -j-4 dx^ -+- 2 ■ , , dx da H- -j-~ da' -+- -r- d'à dx' dxda da' da

Éliminant entre ces équations rfa et rf^a, on obtiendra, pour d^ z, une expression de la forme demandée, et le problème sera résolu. On trouve ainsi

dx'

d'z dy'

d'ij Ix'

d' ç dx d' <f I dx \

^di^aij^ '^d^yj^l

da \da /

dnj da

'd'-i, dx' 'd£ da

da'

da (d^ .da

d'uj dx

dx dy da'

d'^ d f dx da dl ( djf

da.

dj^ d If d'-\) dx

[da)

dxda d-i/ djA'lLc da]

(pjt

da' I di/ \

di/\ \dx,

dY\

da)

La même méthode permettrait de calculer les dérivées d'ordre plus élevé, mais les résultats deviennent de plus en plus compliqués.

166. On peut aussi chercher les dérivées de z successivement et en les déduisant les unes des autres. On a en effet, en différentianl les deux équations données par rapport à x, et traitant j comme une constante,

dz Tx=P

dif dtf da dx da dx

d-i/ d-i/ da

dx da dx

et, par l'élimination de -t~ '

d <f dz dfd-^da

lu.

Les mêmes équations, différentiées par rapport à j, donnent

dz df da.

dy ^ dot. df

et l'on en déduit

rfi|/ dx dot. dy

d<f dz doL

dlA

p et q étant des fonctions connues de x et de a, il suffira de remplacer successivement dans ces formules la fonction ç par 9,, puis par cp.^, pour obtenir

-j^ > -r » -7^ et -r > c'est-à-dire les secondes dérivées de z. On trouve ainsi dx dy dx dy

dtf,

</r|/ da.

~ dx dift

dx d^ '

dot

dp^

dot

de.

dtf.

dot

dy-

- d^' dcc

dtf.

dq.

dtf,

d'if da.

~ dx

~ dx d'if da

On remarquera que -/ et '-^ représentent l'un et l'autre l ,- ; ilssont donc égaux,

ce qui établit une relation nécessaire entre les dérivées des fonctions y, et Çj. Si l'on voulait déduire de ces formules les résultats obtenus précédemment, il fau-

drait effectuer lesdifférentiationspar rapport kx et par rapport à a qui ne sont ici qu'indiquées sur les fonctions f, et rp^.

EXERCICES

1. Si, dans une fonction j=y [x], on. donne à x des valeurs successives x, x -^ h,, x-hht + fh, x-\-h,-\-h2 + lis, . . . , et que les valeurs correspondantes de y soient

y, 7" y-" ■ • • ' r» ' le rapport , , , ' r- a pour limite la n''"" dérivée de r, lorsque A,,

hi,. . . , /(„ tendent en même temps vers zéro.

2. Si une fonction finie et continue de x s'annule pour les valeurs x zi^x,, x^^x^,. . ., X = x,„ que nous supposons rangées par ordre de grandeur, on a pour toute valeur de x comprise entre x, et x„

'!j[x^^[x Xx] [x Xj.). . .[x Xn]- ■ ■

<f" [a) étant la valeur que prend la n''"" dérivée de la fonction f, pour une certaine valeur de X comprise entre Xt et j?„. On démontrera ce théorème en remarquant que l'équation

f [x] — A [x — Xt) [x — Xi). . ,[x — x„) = o

admet, quel que soit A, les racines x,, x^, ..,x„, et si A est tel qu'elle admette en outre une (« + i )'''"' racine comprise entre x^ et x„, la n''"" dérivée

doit s'annuler entre les mêmes limites.