Transformer l'équation

dx' df f'n posant x+y=z a, .r — r=p, et considérant ; comme une fonction de a et de p 3. Si z est une fonction de a: et de ^ et que l'on pose dz dz

d^ dx'

d'z dxdy

di=P' Tr = '^' d^' = '' d7dr='' rf^'='' «=/'' + ?r-^

d^ dx'

on aura, en prenant p et q pour variables indépendantes,

du __ du d'u t d^u — s d^u r

dp ~ ' 'dq~-^' dp'' ~ rt — s'"' dp dq ~ rt — s' ' Thf ~ rt — s''

4. Si !f{x, y, z) = p, if,{x,y, z) = p,, <f^{x, y, z) = p„ sont les équations de trois séries de surfaces orthogonales, p p,, p^ formant par suite un système de coordonnées curvilignes, le déterminant du système des fonctions p, p,, p,, par rapport aux variables r,f,z dont elles dépendent, est égal au produit h hju, dans lequel ces lellrç§ ont la signification indiquée ( 183 ).

5. Si p', p], p] sont les trois racines, toujours réelles, de l'équation

en posant

du — '^'°' //// —

dp^

\/— ip'\ -!>'](?', -c') v/(p^

l'équation équivaut

W^: - {p:-pi

d'v d'i> d^v dx' ' dy-' ' dz' ~ °'