CHAPITRE VIII
i* ■' FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELI^ES.
Définition des équations différentielles .
* 186. Lorsqu'une équation exprime une relation entre une fonction et ses dérivées, on la nomme équation différentielle. Nous avons eu déjà l'occasion (146) d'utiliser des équations différentielles pour la recherche des dérivées de certaines fonctions. L'étude des équations de ce genre est d'ailleurs un des sujets les plus importants que nous ayons à traiter.
Une fonction d'une variable étant donnée, l'équation différentielle à laquelle elle satisfait n'est pas déterminée. Si, en effet, on différentie l'équation /= ip ix) pour
en déduire -^^ = ip' [x), toute combinaison de ces deux équations fournira une relation entre x, y ei-j- , c'est-à-dire une équation différentielle à laquelle satisfaitjjf.^ Soit, par exemple, la fonction
on en déduit
et ces deux équations donnent les relations
auxquelles on pourrait évidemment en adjoindre une infinité d'autres. Si dans ces équations on considère y comme inconnue, elles admettent la solution commune y = e*', mais chacune d'elles peut en avoir, et en a effectivement, une infinité d'autres.
187. On peut se proposer de combiner l'équation qui définit une fonction avec celle (lui f\ùt connaître la dérivée de cette même fonction, de manière à remplir une certaine condition que l'on aura en vue. On peut, par exemple, profiter de l'indétermination que comporte une semblable opération pour faire disparaître un radical, ou une exponentielle, ou un sinus, etc., qui figurent dans l'expression de la fonction et que l'on ne veut pas conserver dans l'équation différentielle.
Soit, par exemple, l'équation
on en déduit
et par conséquent, en éliminant 9 (x)"',
dr
dx m<f' {x)
Si l'on a, par
exemple,
on en déduira
dx X
où il n'y a plus
de radical.
Soit encore
j=sin.p(x), *
on en déduit ^ " *
dy
~=cos<f{x).^'{x),
a et si l'on veut éliminer les lignes trigonométriques sin 9 [x] et cos ip {x), on trouve
df
^'Ixf \dx
' Oh pourrait donner un grand nombre d'exemples analogues, mais nous nous bornerons à répéter que l'équation différentielle à laquelle satisfait une fonction don- "née est essentiellement indéterminée. C'est pour cette raison que l'on peut, comme on vient de le voir, lui imposer des conditions relatives à la fofme qu'elle doit avoir.
Élimination des constantes.
188. Lorsqu'une fonction donnée contient dans son expression une constante arbitraire, on peut se proposer de former une équation différentielle à laquelle elle satisfasse, et dont cette constante ait disparu. Le problème est toujours possible et déterminé. Soit, en effet, une équation
UVRE PRElSïER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. l'.il
dans laquelle a désigne une constante arbitraire. On obtient, en la différLiitiant,
,/F JF ily ^ <lx (ly (Ix
et en éliminant a entre les équations (i) et {■>.), on formera l'éqviation différcnliolic demandée. Cette équation pourrait être obtenue par un antre calcul. On pourrait, par exemple, résoudre l'équation (i) par rapport à a, et la différentier après lui avoir donné la forme
cp(x,j)— «;
la constante se trouverait immédiatement éliminée et l'on obtiendrait l'équalion
r/f r/y dy-
dx dy dx
On peut, plus généralement, transformer d'une manière quelconque l'équation proposée avant de la différentier; l'élimination de la constante a pourra donner lieu à des calculs très-différents, mais le résultat final est le même dans tous les cas. Quand on a, en effet,
a étant arbitraire, il est permis de choisir à volonté une valeur de x et la valeur correspondante de j ; mais, le choix une fois fait, l'équation ( i ) détermine a et il n'y
a plus rien d'arbitraire dans l'expression de y en x\ '-^ est donc complètement
dy déterminé. -/- étant déterminé lorsque l'on se donne x ety, la relation qui lie r, y
dy-
et -4- est évidemment déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen employé pour l'obtenir.
189. Lorsqu'une équation entre deux variables .r et j contient plusieurs constantes arbitraires, on peut les éliminer et former une équation différentielle dans laquelle elles ne figurent plus, mais il faut, pour cela, introduire des dérivées successives dey en nombre précisément égal à celui des constantes.
Soit l'équalion *
où C,, Cj, . . ., C„ désignent des constantes arbitraires. En la différentiant n fois de suite, on formera Ae équations nouvelles qui, réunies à la proposée, permellront d'éliminer les n constantes. Mais on peut procéder de bien des manières différentes pour atteindre le même but. On peut, en effet, transformer l'équalion (i) avant de la différentier; on peut aussi transformer d'une manière quelconque celles qui ré-
sultent de la diflférentiation de (i) en substituant à l'une d'elles, avant de faire une
#différentiation nouvelle, le résultat de sa combinaison avec toutes les précédentes. On peut, par exemple, éliminer la constante C, entre l'équation (i) et sa dérivée, puis éliminer Ca entre l'équation différentielle ainsi obtenue et sa dérivée, et pontinuer ainsi jusqu'à l'élimination de toutes les constantes. Or il est bien diane ï de remarque que toutes ces méthodes donnant lieu à des calculs très-différents, *' ^ .«conduisent cependant au même résultat final. L'équation (i) contenant en elTet
n constantes arbitraires distinctes, on peut se donner, arbitrairement, pour une ^ valeur donnée de x, les valeurs correspondantes de j et de ses n — i premières dé-
^■fc^^ , d'Y il "Y" ll"~'^ Y
m ,rivées-T-r XT'""' T~^" ^^^^ ces «conditions déterminent les n constantes, et j devient une fonction déterminée de a; ; -y-^ est par conséquent déterminée. Cette
W n'""^ dérivée étant déterminée lorsqu'on se donnea;, j, T^ 5 ■• 5 '-j—;—- l'équation
qui la lie à ces diverses quantités est déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen employé pour y parvenir.
190. Pour donner un exemple d'élimination des constantes, formons l'équation différentielle du troisième ordre à lag^uelle satisfait la fonction y définie par l'é-
quation * " #i» % -m^ ^
{x-ay+{r — hy-=]V-,
m *ï'eprésentant tous les cercles tracés dans un plan.
En différentiant trois lois, on a l- ♦
#on déduit de ces deux dernières équations-, par l'élimination de (r — b),
; V dr
« a , , dy l'drY
. , ,d^r ^dr d-y *<y ''^dx^^^dxdx'-
^ \ dx I \ dx^ dx \ dx'' '
f(|| ^t^'^st l'équation différentielle demandée.
Elimin0ion des constanles dans une équation qui contient plusieurs 1* variables indépendantes .
191. La différenliation permet d'éliminer les constantes d'une équation dans laquelle figure une fonction de plusieurs variables, absolument comme dans le cas où il n'y a qu'u^ seule variable indépendante.
^Pl''
Soit l'équation l '" '" , "^
<f(x,f, a, b, z) = o, -âk. ■ W
qui défiait z en fonction de a; et de j, et de deux constantes arbitraires. En diff'érentiant par rapport à x, puis par rapport à j, on obtient deux équations qui, réunies à la proposée, permettent d'éliminer a et b.
En introduisant les dérivées du second ordre, -r4' 4 — , ■> -r^i on pourra éliminer
dx^ dxdy dy^ '
cinq constantes; on en éliminerait neuf en introduisant les dérivées du troisième
ordre, et ainsi de suite.
192. Il existe une différence importante entre les équations obtenues comme il vient d'être dit et celles qui résultent de l'élimination des constantes dans les équations à une seule variable indépendante. Dans ce dernier cas , en effet , l'équation obtenue a le même degré de généralité que la proposée et peut la remplacer entièrement. De même qu'elle est déduite de la première, on pourrait, en la prenant pour point de départ, retrouver celle-ci. C'est là un théorème de calcul intégral dont nous ne pouvons donner ici la démonstration, mais qui sera établi plus tard; or on peut voir, dès à présent, qu'il en est tout autrement dans le cas de deux ou plusieurs variables indépendantes : l'équation trouvée entre les dérivées partielles de la fonction est beaucoup plus générale que celle qui lui a donné naissance.
Considérons, en effet, une équation de la forme *^ "^ %-lk ^
[En prenant les dérivées successives par rapport à x et à y, on pourra for-
Imer deux équations du premier ordre, trois du second, quatre du troisième, et
ainsi de suite. Si donc on veut introduire les dérivées du second ordre, on aura
■ - .. , dz dz d^z d'z d' z . „,,. • .• . *
SIX équations entre x, y, z, -j-i -j- , y-j> -r-^t -. — y-, qui, par I élimination des constantes a et b, donneront quatre équations entre ces diverses quantités. L'équation * ^^i* (lin'érentielle entre a;, r, z, -t-^-t. ne donnera au contraire que deux équations
"HP m
du second ordre que l'on obtiendra en la différcntiant par rapport à a; et par rapport a V. Ces deux équations, réunies à la proposée, en font trois seulement au lieu de quatre, et par suite, en considérant les dérivées de z jusqu'au second ordre inclusivement, on voit que l'équation f i ) leur impose un plus grand nombre de conditions que l'équation différentielle qui s'en déduit. La différence augmente encon; si l'on considère les dérivées du troisième ordre. L'équation proposée, dinéiculicc par rapport à a? et par rapport à / jusqu'au troisième ordre inclusivement, donnera
lOr PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL^
,. , . r/s d-z (Pz d''z d'z jd'zf- d^z d^z
on tout d.x relations entre x, y, z, ^, ^, ^-^, ^, ^, -^^, dfdx\dr' '^
les deux constantes; il y aura donc huit relations indépendantes des constantes entre x, y, z et les dérivées de z jusqu'à celles du troisième ordre inclusivement. Or, en prenant pour point de départ l'équation dilTérentielle débarrassée des constantes, on en déduit deux équations du second ordre et trois du troisième, ce qui lait six relations, en tout, entre ces mêmes dérivées auxquelles l'équation primitive en impose huit. Ce seul rapprochement fait comprendre que l'équation différentielle laisse à la fonction z une plus grande latitude que l'équation primitive.
* 193. On peut démontrer d'une autre manière que l'équation obtenue en éliminant deux constantes a et b entre l'équation
et ses dérivées, admet une infinité de solutions non comprises dans l'équation qui lui a donné naissance. Soit, en effet,
cette équation différentielle, à laquelle satisfait, par hypothèse, la fonction z dâiuite de l'équation (i), quelles que soient les valeurs qu'on y attribue aux constantes a et b. Nous pouvons remarquer d'abord que les surfaces représentées par
# l'équation (i) ont une enveloppe que chacune d'elles touche en un point; l'équation de cette surface enveloppe, s'obtient en éliminant a et 6 entre l'équation (i)
• et les dérivées de cette équation par rapport aux constantes a et b. Soit
le résultat de cette élimination. Cette équation (3) fournit pour z une expression en jî et j qui satisfait à l'équation (2), car en chaque point de la surface enveloppe
j, les quantités r, y, z, -j-i -^ ont les mêmes valeurs que pour celle des surfaces
enveloppées qui est touchée en ce point, et par conséquent la relation (2), qui a lieu pour tous les points de toutes les surfaces enveloppées, a lieu aussi pour la » surface enveloppe.
Mais on peut obtenir une infinité d'autres équations qui, pour une raison toute semblable, partagent la propriété reconnue à l'équation (3). Etablissons, en effet, entre les constantes a et b une relation arbitraire b=:f{a), l'équation (ij deviendra "^
et, nCj contenant plus qu'un seul paramètre a, cette équation représente une série
de surfaces dont l'enveloppe touche chacune d'elles, non plus en un point, mais suivant une ligne. L'équation de cette enveloppe s'obtiendra en éliminant a entre l'équation (4) et sa dérivée par rapport à a, et il est évident que l'on obtiendra ainsi
l'équation d'une nouvelle surface pour tous les points de laquelle x, y, z, -r-t -p 4
seront les mêmes que pour un point convenablement choisi de l'une des surfaces primitivement données; l'équation (a) sera par conséquent satisfaite par la fonctions déduite de cette nouvelle relation. Mais, cette fois, l'introduction de la (onction arbitraire/(a) permet d'obtenir un nombre infini de résultats différents, ce qui montre que, conformément à nos prévisions, l'équation (i) est bien loin d'être la .solution générale de l'équation différentielle que l'on en déduit.
