XX

[i-hx)\/xL dx, -^'J. J

Si, dans cette équation, x se change en x^, x, se changera en x.j, puisa-, étant remplacé par x^, x.^ le sera par X3, et ainsi de suite; si donc on pose

on aura * ^

(i-h x}\/x {1 + X,) ^x, {}-hx,)\/x, {i-\-x„)\/t„

or si n grandit sans limite, T— x„ tend évidemment vers zéro; on a donc et j satisfait, par conséquent, à l'équation différentielle

Sans pouvoir suivre ici les conséquences de ce résultat, nous avons pensé qu'une anahse aussi remarquable ne serait pas déplacée dans un chapitre consacré à la formation des équations différentielles.

Equations différentielles totales.

215. Les équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions de plusieurs variables indépendantes ont lieu entre les fonctions elles-mêmes et leurs dérivées partielles. On est quelquefois conduit à considérer une autre sorte d'équations qui ont lieu entre /e* différentielles des variables indépendantes et celle delà fonction qui en dépend. On a vu (57) que, z étant une fonction de x et de y, il existe une équa-

tion du premier degré entre les différentielles dx, dy, dz dont deux restent arbitraires et déterminent la troisième ; une équation de cette forme

(i) Vdx + Qdr-\-}\dz = o,

où P, Q, R sont des fonctions données de x, y, z, se nomme une équation différentielle totale.

Il y a une différence manifeste entre l'équation différentielle [\) et une équation aux différentielles partielles. Dans l'équation (i), en effet, dx et dy sont arbitraires, il est permis de les supposer, successivement égaux à zéro, et l'on aura ainsi

rf2__P ^__Q.

'dx~ ■ V dy~ R"

l'équation f i) fait donc connaître, à elle seule, les deux dérivées partielles -j- et -4-1

entre lesquelles une équation aux différentielles partielles établirait seulement une relation.

216. L'introduction des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction de deux variables permet, comme on l'a vu (197), d'éliminer une fonction arbitraire; la recliercbe d'une équation entre les différentielles permet seulement l'élimination d'une constante.

Soit F {x,y, z, Cj = o une relation entre x, y, z et une constante arbitraire C. On en déduit, entre les différentielles dx, dy, dz, la relation

dV , dY , d¥ , -j—dx-h-j- iir + -j-dz=o, (IX dy ' dz

qui est la seule à laquelle ces différentielles soient a.ssujctties; le résultat de l'élimination de C entre cette équation et la proposée est une équation parfaitement déterminée de la forme

Pdx-hQdy+Rdz = o.