Une équation de la forme

(') Pdx + Qdy-hHdz = o

ne correspond pas toujours à une relation entre j:, y et :. Il est facile do voir que les fonctions P, Q, R doivent remplir, pour qu'il en soit ainsi, une condition nécessaire. De l'équation fi), on déduit, en effet,

(2) dz^-^dx—^dy,^

220 PRI-:.MIËRE PARTIK. - CALCUL UIFFÉRENTIRL.

et par suite,

dx~ R' dr'~ K'

dy dx

et par suite, en remarquant que P, Q et R contiennent z qui est supposé fonction de X et de j,

d^ d- , d^ d^ , R K dz R Kdz

dy dz dy dx dz dx " en remplaçant j-.^^ y~ par leurs valeurs (3), effectuant et réduisant, on en déduit

et cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x, y et z qui satisfont à la proposée. Deux cas peuvent se présenter : ou l'équation (5) est identique, et alors la condition est évidemment remplie ; ou elle établit entre a;, j et z une relation qui doit être la relation cherchée elle-même, et si l'équation (i) n'est pas une conséquence de l'équation (5), il faut conclure qu'elle est impossible.

Soit, par exemple, l'équation

(6) [&xy-z — Syz^) dx-^-[5x-yz — ^xz^) dy + {^x''-y—(>xyz'>) dz — o;

en formant l'équation (5), on voit qu'elle est identique. La théorie précédente permet alors de se demander à quelle relation entre x,yetz convient l'équation (6). Soit encore

(A) {z—y)dx-\-xdy-\-{y^z]dz = o,

l'équation (5) devient alors

Or on en déduit

et comme les valeurs (B) et (C) de z et de dz rendent l'équation (A) identique, on doit en conclure que l'équation (A) est possible et qu'elle a pour solution unique

Soit enfin

zdx — ydy-\-ydz=zo;

l'équation (5) devient, dans ce cas,

et comme ^ = o n'est pas une solution de la proposée, celle-ci est impossible et ne correspond à aucune relation entre x, y et z.

218. Les résultats précédents peuvent être généralisés. Uneéquation entre quatre variables x, y, z, u et une constante arbitraire, donne, par l'élimination de la constante, une équation différentielle totale de la forme

(i) Vdx + Qdy-h]{dz + Sdu = o.

Mais il existe entre les fonctions P, Q, R, S, des relations nécessaires. Si, en effet, dans l'équation (i) on considère u comme une fonction des variables indépendantes X, y, z, et que l'on remplace du par sa valeur,

, du , du , du , du = -r- dx ■+■ -;- dr + -r dz.

dx dy '' dz

dx, dy, dz, étant arbitraires, leurs coefficients devront être nuls, et l'équation (i) entraînera par conséquent les trois suivantes :

En résolvant ces équations par rapport aux dérivées partielles de u qui y figurent, et écrivant que l'on a

d /du\ d /du\ dy \dx) ~ dx \dy)

d !<fu\ d ldu\ Tz \dyj ~ dy\dz)'

ldu\ d ldu\ \dz) ~ dz \dx)'

d l du di

on trouve, en ayant égard aux valeurs de ^» t-> t-> et en supprimant les termes

222 PRi:.\IIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

qui se détruisent :

\rfj dx ) " \dx du) \ du dy ) '

dz dy I \dy du] \du dz ) ~ '

dx dz ) \dz

rfR\ „ /(/P </S

du I ^^ " \ du dx ' '

et ces trois équations doivent être satisfaites identiquement pour que l'équation (i) puisse se déduire d'une relation entre ■T,y, z, u et une constante arbitraire.

219. Lorsque p variables oc,, x^, ..,Xp sont liées par n relations, contenant in— i constantes arbitraires, on peut éliminer ces constantes entre les équations proposées et leurs différentielles totales; le résultat de cette élimination est évidemment de la forme

Réciproquement, si une telle équation est donnée, et que l'on y considère p — n des variables comme fonctions inconnues des n autres, on pourra écrire immédiatement n équations qui sont la conséquence nécessaire et en quelque sorte la traduction de l'équation (i). Si par exemple x,,X2,...,Xp„ sont fonctions de Xp„+,, Xp„^2 , . . • , Xp, on aura ,

, dx, , dx, , dx, ,

OX, . UXit—p^, -\- -j CtXn—p-^2~\~ ' ' ' ~\- —j UXp f

ciXp^n^ I dXp — n+t dx p

et les autres différentielles s'exprimant de même, on pourra, après les avoir remplacées par leur valeur, égaler à zéro les coefficients des n différentielles arbitraires <^it;p„+, , dxp„^^,...,dxp\ on obtiendra ainsi n équations entre y» — « inconnues. Si n est égal ou inférieur np— n, il n'existe aucune condition nécessaire entre les coefficients X,, Xo.-.-.Xp; mais, dans le cas contraire, ces fonctions sont assujetties à des conditions sur lesquelles nous aurons à revenir.

^ EXERCICES

1. Éliminer les constanles a et è el former l'équation différentielle du second ordre à laquelle satisfait la fonction r définie par l'équation

xy = ae^ -+■ be-'.

2. Éliminera, />, c, d et former l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle

salisfiiil la fonction j définie par l'équalion

aef + he- r = et' -V- dtT'.

On trouve

vd^y ldy\__ ^ly-\ r/^-V,l . lO- i^tl\ \j^^\dx) dx\\\dx) \- dx\dx'']'