I. ag

Soient, en premier lieu, «, = i , a^ = x, «3= x'',..., «„ = j?""', x désignant un nombre plus petit que l'unité; la formule ( 1 ) devient

c'est-à-dire

formule importante et connue dès les éléments.

Soient encore a, = i , «a = - , • • , a„ = -,••••, la formule ( 1 ) devient

formule curieuse, et l'une des premières que Leibnitz ait trouvées en abordant l'étude des séries.

Si l'on fait

II I

Xi l, a; — — » a3=:z -,.■■, a,, =::: >••■»

on trouve de même

et par conséquent

222. Citons encore quelques séries remarquables sommées par Stirling par des considérations analogues, et utilisées dans son ouvrage sur la sommation des séries.

On a, quel que soit z,

en effet.

z[z-hi] z

Z + I Lz-t-2 2-1-1

[Z-^rp][Z-^ p-^r-y) Z-\-p Z-\-p-\'\

en ajoutant ces équations on obtient la formule annoncée. Nous rapporterons encore, sans nous arrêter à une démonstration rendue trop

facile par ce qui précède, les formules

?.2(z-(-i) z (z-Hij {■: -f-a) (z+i) (z H-a) (z + 3)

.■^ (2 + .)(2+:*)(2 + 3)(2+4){2+5) -^^ ■ • • 223. Si, dans la formule (i) du paragraphe précédent, on pose

ce c x,= arc tans-ï a,= arctang ,, a3=arciang ,■,••••,

elle devient

c bc bc

arc tang - = arc lang — j- -h arc tang ; — —rr; — ; — rr-, — ;

bc -t-arclang

ia+-9.b}{n-^3b)-hc' En supposant b = 2, a = i, c = i , il vient