je
Xl=
Mais on a (225)
-^-~ =^r—r' +r' — r' + • • • ±j" =h« • • , Z__ =^r' — 27= + 3/' — 4j' ^- . . . ± ny-^' qp . . . ,
en remplaçant chaque terme de la série (3) par son développement et réunissant les coefficients de la même puissance dey, on a
S= «„-!-«, J-|-(J<2 — M, )j-'-4-(«ô 2f/,4-Mi)7' + (Mi — 3Ms + 3?/2 — H,) 7' 4-. . . ,
ou, d'après les formules connues de la théorie des différences, et comme l'équation (a) donne
- s = «,-!-«, '■ hAM, ^^ | . . . | A"-' M,
Si l'on suppose x= — i , on a = -, la série S devient
et sa transformée
S = //„ Ui -H M, Jij -)- M< . . . ,
251 . La transformation précédente est remarquable et souvent utile, comme nous le montrerons, pour le calcul numérique des séries; mais, avant d'en faire une application, remarquons bien qu'elle ne serait plus légitime si l'une quelconque des séries considérées cessait d'être convergente. On comprend difficilement, par I exemple, qu'on ait songé à l'appliquer aux séries
%Wt qu'on en ait conclu pour la première la valeur --, et pour l'autre la valeur 71
croyant justifier par là l'usage des séries
= 1 — IX -\- ix^ — 4 •*"'•+"• • ■•
dans le cas où x est égal à l'unité et où elles cessent d'être convergentes. 11 est utile cependant d'insister un peu sur ce point. La transformation d'une série divergente, lors même qu'elle donne naissance à une série convergente, doit être considérée comme insignifiante, à moins qu'une nouvelle démonstration ne vienne lui donner un sens; cette démonstration peut quelquefois être faite, parce que la série transformée et la série primitive étant démontrées égales lorsque toutes deux sont convergentes,,fournisscnt deux développements de la même fonction. S'il arrive ensuite que l'une d'elles devienne divergente pour une certaine hypothèse, l'autre demeurant convergente représentera encore la fonction, justifiant en apparence ceux qui prétendraient que l'autre série la représente encore après être devenue divergente, et qui se trouveraient dans le vrai pour avoir commis la double erreur d'accepter une transformation qui n'est plus légitime et une série qui, étant divergente, ne représente plus rien.
Considérons, par exemple, la série
(i) ïx-^^x'-^-^x'+jx*-^.... oty^-'X<-i
En posant
elle devient *
Ainsi qu'on s'en assure aisément, \e calcul numérique des premiers termes fait apercevoir la loi, et l'on démontre (*) ensuite qu'en posant
ty2 ^i n4 ^N
W, = O, «. = 2, M, = — , «3 = — , «4 ==—,.•• , II,, z= — , ■ ■ • 234 "
{*) La proposition inverse, qui est équivalente, est plus facile encore à établir. Si l'on se donne les valeurs de A«, , A' «,,..., a" «,..., on aura, par une formule connue delà théorie des différences,
Or, en remplaçant //, et ses différences [wr les valeurs indiquées, le second membre devient
c'est-à-dire • car cette expression est précisément ce que devient -^ 9t — -• qud
on y fait X = 1 .
if
2S6 PREmÈRE PARTIE. - CALCDL DIFFÉRENTIEL,
on
supposant x— —
j, on a
> et la série
est
par suite transfor
inée en
ley-
2 /Tv»
Or, la première étant divergente et la seconde convergente, il n'y a pas entre elles
d'égalité possible. Cependant la série (4) est, comme nous le verrons, celle qui
représente /( i — 2a;) dans laquelle on suppose a? = — i . Les partisans des séries di-
• vèrgentes doivent donc dire, elle est égale à 1 3 ; Or la série (5), qui est convergente,
peut s'obtenir en posant y = dans le développement de /( ' ^ ), qui est alors
convergent, et elle représente effectivement /3. La transformation d'Euler conduit donc dans ce cas à ce résultat paradoxal, qu'une série divergente peut servir au calcul numérique de la fonction qu'elle devrait représenter si les formules « étaient générales.
252. La manière dont nous avons obtenu la formule de transformation d'Euler ne fait nullement voir dans quels cas elle peut être avantageuse, et n'indique pas la limite de l'erreur commise lorsqu'on s'arrête à un terme déterminé de la série transformée. Nous allons revenir en conséquence sur cette formule importante, pour en donner une seconde démonstration qui n'ait pas les mêmes inconvénients.
Soit la série ' . *
( I ) S =</„—«, -1- Mj «3 + . . . + «„ — «,1+1 4- M„+! + . • . ,
dans laquelle u^, u,,...,u„, sont des nombres positifs décroissants. Soient S la limite W fk de cette série, et s„ la somme de ses n premiers termes. Si l'on désigne, comme
d'habitude, par Aa„ la différence ii„+, — u„, on pourra écrire la série sous les deux formes suivantes :
S = i„ — A M„ — A «„+, — \ U„^i — . . . , , (2), Il *-
H vS = 5„ -I- ll„ -+■ A «„<-, -H A «„-,-, + A //„^, -h . . . ,
% la somme S, étant égale à chacune de ces deux expressions, est égale à leur demisomme, et l'on a par conséquent
• ) ï> = «„ -t- - «„ {^ II,, — A M„+i + A 11,,^, — A 11,,^, -+■ . . .).
Si les différences A a„, Aa„+,, A«„+j, quisont toutes négatives, vont en diminuaul en valeur absolue, ce qui a lieu dans un grand nombre de cas, la série placée entre parenthèses est de même nature que la proposée, et sa valeur complète est moindre que son premier terme, en sorte qu'en prenant
l'erreur commise est moindre que - A«„. Si l'on avait adopté la valeur
l'erreur commise eût été moindre que m„+,. Aa„ étant négatif, on voit qu'il faut préférer la formule (4) à la formule (5) Joutes les fois que
c'est-à-dire
(letle relation aura toujours lieu pour les séries peu convergentes, dont les termes décroissent lentement.
On a trouvé
(6) S = 4. + -«„— -(il/„- AH.,+, -+- A«„+, . ).
Cette équation peut s'écrire
(7) S = 5„-(- -«„ Aw„-f- -(am„^, — Aa,„..-i- Att„4-.. • • •);
or, en vertu de la relation A'^ u„ — Aw„+, — lu,,, les formules (6) et (7) peuvent s'écrire de la manière suivante :
{1)1 i>=S,-h-U„- au. A'M,,^, -+- A'«„+; -t-... ;, A
et, en formant la demi-somme des deux expressions de S ,
S = S,-h - u,. - - Am„-|- y (A=//„ — A'«,.^, H- a=«„,, — a=«„, . .
Si les dilîérences A'a,, , A^u,,^,, A'u„+.j sont de même signe et vont en décrois-
.sant, la série entre parenthèses sera de même nature que la proposée, et, en la né- |p ^ligeant tout entière, l'erreur commise sera moindre que son premier terme. On pourra donc prendre $f
SSfi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
L'erreur commise étant moindre que j A= w„, la formule
peut s'écrire
et de même l'équation (9) peut être mise sous la forme
S = 5„ + - U„ — 7 Af/„ + 7 A^M,, -I- y ( A''M„+, -1- A'«„+, +. . . ),
et, en prenant la demi-somme de ces valeurs de S,
Si les différences A' m„ , A^ «„+, , . . . , sont de mêmes signes et décroissantes, la série entre parenthèses sera, comme les précédentes, plus petite que son premier terme, et en prenant
S = i„ + - U„ — 7 Am„ + - A''«„ , 24 o
l'erreur commise sera moindre que jjA'a,,.
Le même raisonnement peut se répéter indéfiniment, et l'on peut écrire
II I I (— iK
l'erreur commise étant moindre que — àPu„, pourvu que les valeurs absolues des
termes de la série aient leurs différences d'ordre inférieur à /> de mêmes signes et décroissantes.
Soient, par exemple,
S= I hô - 7+...,
on a dans ce cas
«„ = - 5 A Un = — ; ; > A- U„
,f ^n " n.(n-\-i) " 7i.(nH-i) (m h-i)(« -1-2) n.{n + i)(n + 2]
y Un =
Il («4-i){«+2)(n + 3)(« + 4)'
Les conditions admises dans la démonstration précédente sont donc remplies; en faisant «=11, on trouve
