Considérons comme exemple la série

III o

dont la divergence a été démontrée (236). Prenons (p(rt) = n, nous aurons

Ce produit tend vers zéro. De plus, on a

On voit aisément que f{n) est nul pour n infini. On a enfin

et la limite est l'unité, la série (i) est donc divergente.

Soit encore la série

2{l2j= 3(13)^ n{\ny

prenons ?(«) = «!«, on aura

(le produit teutl vers zéro; de plus on a

On voit aisément que pour n infini, cette expression devient égale à l'unité, et par .suite la série est convergente.

Séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs.

246. Lorsque les termes d'une série ne sont pas tous positifs, il semble difficile de donner des règles générales qui permettent de décider de sa convergence. Nous nous bornerons à quelques remarques fort simples, mais très-importantes.

Théorème I. —Lorsque les termes d'une série sont tels, qu'en substituant à chacun d'eux un terme positif de même valeur absolue, la série devient convergente, elle l'est également quels que soient les signes de ses termes et l'ordre dans lequel on les écrit.

On peut en effet considérer les termes positifs et les termes négatifs comme formant deux séries distinctes, convergentes toutes deux; puisque la somme des uns et des autres pris avec le même signe reste, en effet, par hypothèse, au-dessous d'une certaine limite, il en est à fortiori de même de l'une quelconque des deux qui forme, par suite, une série convergente.

Cela posé, si l'on prend dans la série un nombre de termes indéfiniment croissant, le nombre des termes positifs et celui des termes négatifs qui y figureront iront l'un et l'autre en augmentant sans limite, et la somme différera par conséi]uent de moins en moins de la différence des limites des deux séries dont nous avons parlé.

Celte conclusion est indépendante de l'ordre dans lequel les termes sont écrits, l't il est par conséquent permis de choisir celui qu'on voudra, pourvu, bien en- Uiiulu, que leurs valeurs absolues, prises avec le même signe, forment, comme on l'a snp|)Osé, une série convergente.

2i7. \/,\ réciproque du théori'me précédent n'est pas exacte; une .série peut être ( onvergenlc, quoi(iue la somme des valeurs absolues de ses termes soit infinie. Nous démontrerons seulement le théorème suivant :

Théorème H. — Lorsque les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs et qu'ils diminuent sans limite, chacun étant moindre que le précédent, la série est convergente.

Soit, en effet, la série à termes réels

dont les termes alternativement positifs et négatifs diminuent sans limite. Arrêtons-nous successivement au terme m„, puis au terme «„+, et posons

S„ = M„ — M, + Mj-I- . . . -t- U„ , S„+,= Mo— M, -+- Ui-\-. . .+ M„— «„+,.

Ouelque loin que l'on prolonge la série au delà de u„ et à quelque terme que l'on s'arrête, la somme sera plus grande que S„ et moindre que S„^,, car la somme des termes ajoutés à S„ est de la forme

et est par conséquent négative.

La somme des termes ajoutés à S„+i est au contraire positive, car on peut les grouper comme il suit : j

en sorte que la série prolongée autant qu'on le voudra est constamment comprise entre deux nombres S„ et S„+, dont la différence u„+, peut être aussi petite qu'on le désire. La convergence est par suite évidente. m

248. Lorsque les termes d'une série pris en valeur absolue ne forment pas une série convergente, et que la convergence résulte par conséquent des signes qu'on leur attribue, il n'est pas permis de changer l'ordre dans lequel ils sont écrits, et l'on pourrait non-seulement altérer par là la valeur de la série, mais encore lui faire perdre sa convergence.

Dirichlet, qui a le premier appelé sur ce point l'attention des géomètres, en a donné l'exemple suivant :

Les séries

I I r 1 I I II

qui sont composées des mêmes termes affectés des mêmes signes, n'ont pas cepen-

(lant la même limite; on peut prouver facilement que la première étant représentée

par S, la seconde est - S.

On a, en effet,

le signe V s'étendant à toutes les valeurs entières de n. On a aussi, en nommant S' la seconde somme.

et par suite

^^ 4" — 3 ^n— \ 2 H mais la somme S peut évidemment s'écrire @

^^ 4/t — 3 kn -

donc

et par suite, sans connaître la valeur de S, on est assuré que S' est égal à - S.

Séries imaginaires .

249. Lorsque les termes d'une série sont imaginaires, la convergence exige que les parties réelles et les coefficients de \/— '. dans chaque terme, forment séparément des séries convergentes.

Il est bien souvent commode de mettre une expression imaginaire a-\- b\j — 1 sons la forme

p ( CCS If + V — ' sin If ) ;

on démontre aisément que cela est toujours possible, en imposant même à /s la condition d'être positif. Ce coefficient, égal à ^à" -t- h'\ se nomme le module de l'expression imaginaire dont l'angle 9 s'appelle V argument. Une série imaginaire

Wi-I- «i -H. ..-»-«„-(-.. .

peut, par suite, s'écrire de la manière suivante : H

p, (cosçi-H- V— l'sinçi) -Hp»(cosfi+ \l — 1 siofi)-)-. . . -t- p» ( ces <p. -l- y'— 1 sin<p») H-. . • ,

et la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit convergente est que les deux séries

p, CCS f, + p, COS <p,-l- . + p„ CCS <p„+ . . . ,

p, sin f , + pj sin <f, H- . . . + p„ sin f„-+- . . .,

soient convergentes toutes deux.

Cette condition sera remplie évidemment si la série

pi -h pï -f- • • . -f- p„ -h . . . ,

est elle-même convergente; car tous les termes de cette série étant positifs, toute série dont les termes sont respectivement moindres en valeur absolue, est nécessairement convergente en même temps qu'elle. La réciproque n'est pas exacte, mais il est difficile de donner une règle générale de convergence. Nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant, qui s'applique à une classe importante de séries imaginaires :

Si, dans la série

(i) rt„ + a,.r + aj.r'-4-. ..-+-«„ j;" + . . ..

les coefficients Ug, a,,a2,---, a,,,.-- diminuent et tendent vers zéro, de telle sorte que chacun soit plus petit que le précédent, on peut affirmer que la série est convergente pour toute valeur de x dont le module est l'unité, en exceptant la seule valeur x= i pour laquelle il y a doute.

Représentons par P„ la somme des n + i premiers termes de la série, et posons

on en déduit, li

(3) (1 — x) P„ = a, — n„x"-^' +(«i — rt, ).r-|-(a, — «i)x=-|-. . . + («„ — «„,).!■".

Si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité, c'est-à-dire de la forme

cosf + \l — I sin !f ,

UiiX"^* tend vers zéro, lorsque n augmente sans limite, à cause du facteur a„, et la série dont le terme général est

est convergente; on a, en effet, ^

X" = COS /If -+- v' — ' sin « f. ^

La partie réelle et la partie imaginaire de af' sont donc l'une et l'autre inférieures

à l'unité en valeur al)solue; un terme tel que (4) a donc la partie réelle et le coefficient de^— i dans la partie imaginaire moindres tous deux que a„ — «„,. Or la série à termes négatifs dont le terme général est a„ — «„,,

est évidemment convergente et a pour limite — a^; il en est donc, à fortiori, de même des deux séries dont les termes sont moindres en valeur absolue. Le produit de P„ par {i — x) tend donc vers une limite déterminée, et, en excluant le cas où .r r= I, il en est de même de P„. On peut énoncer la proposition précédente en disant que si les coefficients Oj, • a,,...,a„, vont en diminuant et tendent vers zéro, les séries

rtj -t- a, cos f -+- a, cos 2» . . . -h rt„ cos «f • a, sin ijp-l-a, sin 27. . . + o^sin n<^ -

sont convergentes pour toute valeur.de l'angle 9, en exceptant toutefois, pour la première, l'hypothèse 9 = 0.

Si l'on suppose f — n, la première de ces séries devient

a, — fli + ai -

et l'on retrouve le théorème déjà démontré (246).

Transformation d' Euler.

250. Une série étant donnée, on peut la transformer en une autre, soit par un nouveau mode de groupement des termes, soit au contraire par la décomposition de chaque terme en un nombre fini ou infini de parties, soit enfin par l'addition de termes nouveaux dont l'ensemble se détruit. L'une des transformations les plus célèbres est celle qu'Eulcr a proposée pour une série ordonnée suivant les puissances d'une variable.

Soit la série

osons

on aura

S=ll„-^U,X-{- IhX^ +. . .4- H, x"-(-- •

g=ir.H^-