Z.Z-\-\ Z.{Z-\-\){z-\-2.) (Z-\-l)(Z-\-1)(Z-lri

Il réussit dans un grand nombre de cas à atteindre ce but, sans faire connaître toutefois de règle générale qui puisse y conduire.

La formule suivante est une des plus remarquables et la seule que nous citerons :

z^+nz z (2 + 1) z.(2-|-i)(2-(-2) z.{z-+i){z + -}.)(z-ir'6)

, (3 — re)(2 — w)(i — w)

la série qui forme le second membre étant indéfinie quand n n'est pas entier. La démonstration est d'ailleurs bien facile; en retranchant du premier membre le premier terme du second, puis la somme des deux premiers, celle des trois premiers, on obtient successivement :

z.{z-^n) z.(z-Jri) z.{z-\-i)[z-^ II)' ^ I i I — n ( I — H. ) ( 2 — M )

■,.{z-\-n) z.[z-\-\) z.[z-^-\.){z-^i) z [z-\-\)[z-\-i.)\z->rn) I I I — n (1 — ft){2 — n)

et, par suite, l'erreur commise en arrêtant la somme au terme de rang^, est

(1 — /t)(2— «)■ ..(p— rt) Z.[Z-{-\)[z + ■!).. .(z+p)(3+«)'

et cette erreur tend vers zéro (242), pourvu que z -\- n soit positif. 254. Supposons que la série à sommer soit

On a, en faisant « = o dans la formule du paragraphe précédent,

On en conclut que la série

peut être remplacée par la somme des suivantes

et, en remplaçant la somme de chacune des séries in.scrites dans une ligne horizontale, par sa valeur connue, on a enfin

z' {z-hty (3 + 2)' z 9.Z.{Z-hl) 3.z.iz-^-i){z-h3)

Si l'on suppose s == 12, la série qui forme le second membre est très-convergente, et la somme de ses i4 premiers termes donne 0,079957427; les 1 1 premiers termes de la série proposée ont d'ailleurs pour somme i,558o3 223479. et la somme totale est, par suite, avec une grande approximation,

Nous verrons plus tard que cette somme est ^•

Nous reviendrons dans un autre chapitre sur les développements analogues à ceux sur lesquels Stirling fait reposer sa méthode.

Met /iode de M. Kummer.

255. Il existe une méthode due à M. Kummer, et fort utile souvent pour calculer avec une grande approximation et très-rapidement la limite de la somme lies termes d'une série peu convergente à termes positifs.

Soit la série convergente

«.+ M,-i- «2+ . .+ «„+ K„+, -+-«,,+1-1-. . .; partageons-la en deux parties ;

S„ étant la somme d'un nombre limité de termes, on le calculera directement. Quant au reste R, nous devons nous borner k avoir sa valeur approchée.

Pour obtenir cette valeur, on détermine deux fonctions du nombre n, <f[n) et f 'n), assujetties aux» conditions suivantes :

r" Le produit o{n)u„ tend vers zéro lorsque n augmente;

•}'' /(n) s'approche indéfiniment de l'unité lorsque n augmente;

>' Il existe entre les fonctions 9 et/ la relation

qui a lieu pour toutes les valeurs de n.

Fai-sons voir d'abord que, ces conditions étant supposées remplies, ou peut en déduire une valeur approchée de R : on aura, en changeant dans l'équation (1) n en

n -h \ , n -h ■?., /? + 3,..., et chassant les dénominateurs,

f{n)Un+, = <p(«)m„ <p(« + l) M„^,,

/(k+ l)Un+2=<f{n + l)u„+, (p(« -1-2 )«,+,,

/( « + /r ) ;<„+»+, = ij) ( n -I- /r ) ?<„+«. — <f{ii+ k + i) «„+*+,,

En ajoutant toutes ces équations, on a

Or f{n), /{n -h i), /{n -h 2),..., différant par hypothèse fort peu de l'unité, le premier membre diffère fort peu de R, dont la valeur approchée est par conséquent

On peut même remarquer que la formule (2) donne en général deux limites très-rapprochées entre lesquelles est compris le reste R. En effet, de l'équation

f{n)u„ = f{n]u„+,-hfin + \)Ur.+,-h. . . on déduit

fin) -""^'^ fin) ""--- /(«) ""-

Or les fonctions/(n),/(n -I- i),/(/i + 2),..., tendant vers l'unité, il arrivera en général qu'elles seront toutes plus grandes que l'unité et décroissantes, ou toutes moindres que l'unité et croissantes. Dans le premier cas, les fractions qui multiplient a„+,, M„+o,..., sont plus grandes que l'unité dans l'équation (2), et moindres que l'unité dans l'équation (3) : on a donc

^ fin) •

Dans le second cas, /(n), /(n -1- i),..., étant moindres que l'unité, on aura, au contraire,

Jini

et par conséquent R est compris dans les deux cas entre deux limites connues, qui sont très-rapprochées, puisque /(«) diffère peu de l'unité.

Toute la difficulté se réduit donc à la détermination des fonctions s et /, et il est clair que les conditions qui leur sont imposées laissent subsister une grande indétermination.

Choisissons pour 9 (n) une fonction algébrique de la forme

, a' ni^' -\- a" nP-' -h ■ ■ ■+a'^'

ç{«) en + c + ^^ b',iP-^-\-b''nf-^-k-. . .+ b(P^'

La fonction, développée, par la division, suivant les puissances descendantes de n, donnera pour f{n) une série de la forme

Regardons c, c', c",..., comme connus, l'équation (4) fera connaître /(/i) : on a, en effet,

Supposons que le rapport — — soit exprimé par une série de la forme

On aura, en changeant n en n + i dans (4),

[n-\-î} = c{n-hi) + c'-\ T— +

mais on a (225)

(rt-f-i)'~n'V «"^n* «> "*"■■■/'

et, par suite,

?('«-t-i)= en -|-c + c'-f--{i— -4-1-1-...)-+-— , (i—^-t- -,—...)

En ayant égard aux équations (4). (6) et (7), la formule (5) devient

-f--Jc'(e'+4)+c"'(6"— 6)-|-c"'(6"'+4) + c"(6" — i)+ f'«i'+f9"]

-l--Jc"(e'4-5)4-c''{9"— io)-f-c"-(6"'-f-io)-fif"'(9-''— 5)4-c"(5''+i)+c'9'''4-f6"']

+ -, [c^"(6'-f-6)-hc''(9"— i5)-|-c''(9"'— 30 )+£•"•{ 9'"— i5)

-T- c"'{B^+6)-hc"{ù'"+ i) + c-'9'-' +^9""] + -^ [£■"■■( 9'+ 7 ) + f'"'( 9"— 9.1 ) + r"( 9"'-|- 35)+ (^ ( g"— 35 ) l f'^( 9"+ 2 1 ) + c"'( 9" — 7 ) -+- c" ( g'" -)- I )-|- c' 9" ■ ' + r9" ]

Or, pour une valeur infinie de n, on doit avoir /(n) = i ; il faut donc que le terme constant de la valeur de f(n) soit égal à + i, et par suite

de plus, comme on connaît 5, 0', 5",..., puisque le rapport — est connu en fonction de n, on pourra déterminer c, c', c" ,..., de manière à faire évanouir le plus de termes possible de l'expression /(«), afin que la différence f[n) — \ soit aussi petite que possible. Ayant déterminé de cette manière 2/? 4- i coefficients de la série

on formera la fraction

' a' nP-' + a" nf-^ -+- a'" W"' 4- • ■ • + «f' nP -+- h' nr-' -t- , . . + b'-el

dont le développement en série donnera l'expression (4); il suffira, pour cela, d'égaler les deux expressions et d'identifier les deux membres de l'équation après avoir cbassé le dénominateur et égalé à zéro les coefficients des puissances négatives de n dans le second membre, en nombre assez grand pour déterminer 6", //",..., hP.

256. Appliquons la méthode précédente à un exemple Soit la série

IH 1 1 ^ . .-{ h-

on a

i(„= — - = = i-|-iH h— -I

«' «„+, H' n «' «^ rt'

Par conséquent

Nous formerons d'abord la série

<■" c'" c" 7(n) =cn + r'H h— -I-— - +. ..;

c, c'. c" seront donnés par les équations

o = 3c — I, On en déduit ^' = -ô'

o ^rfic:!' + 5f"-4-4c'-<-f,

o = loc'" — gt" — i4c" — c",

o = I ir""-i- 39c" + 9.1 €'"-+-€",

0 = 220" — 2-2 C"" — ôgr," — 9.8c" — c", c" = o,

Déterminons actuellement la fraction