Soit une intégrale

(i) u^= \ <!f{x,a.) dx,

a et i désignant deux limites données indépendantes de a. Cherchons la dérivée -y- •

Si l'on change v. en a -f A a, on a, en nommant Au l'accroissement correspondant de u,

(i) u-{-Au:=l (f{x,x-hA«)dx,

et par conséquent

Au := j [(f{x,a + Ax) — ':f{x,a)]dx,

Au r*9(jc, a-t-Ao:) — cpfar, a) .

et en passant à la limite '^

du r'' da(x, a) , ^ ' doL J^ dx

216. Il est important de signaler une difficulté que laisse subsister la démonstration précédente et qui explique certaines anomalies que l'on rencontre dans l'application du théorème.

La fonction

., 9(ar, at4- Aa) — (p(jr, x)

a pour limite, quelle que soit la valeur attribuée à œ, la dérivée î i^^i5i, piais il

peut arriver qu'à chaque valeur de Aa correspondent des valeurs de x assez grandes pour que la différence entre la fonction (4) et sa limite soit aussi grande qu'on le voudra. Soit, par exemple,

rnsa.r dx.

On trouverait, en appliquant la formule (3),

d^u f"^ .r'cosa.r ,

d' u et -j-^ .serait par conséquent indéterminé, puisque, pour une valeur infinie de jc,

la lonction — ^ est évidemment indéterminée. Le théorème est donc en défaut, et cela tient à ce que, quelque petit que soit A«, la différence

sin( X + Ace) X — siiiaa;'

X ^ ~ x' C0Sa:.r

peut, pour certaines valeurs de x, devenir aussi grande qu'on le voudra, quoique, pour toute valeur de x, elle tende vers zéro avec Aa.

217. Lorsque les limites a et 6 dépendent du paramètre x, la règle de différenliation est moins simple. Posons encore

M =: I 0(X, x)dx.

Si l'on attribue a a l'accroissement Aa, a et è se changent en a -+- Aa et en è + Ai,

iS"! DEUXIEME PARTIE. — CALCUL INTÉGRAL.

on aura

9(x, a + Ac()dx, ' cp(*-, a + Aa)c?.r — / c!f[x,a)dx;

mais on a identiquement, quelle que soit la fonction désignée par P,

Jr^b-^\b nb i^a-i-Aa /^b-t-Ab

Pdx= Pdx- Pdx+ Pdx.

Lorsque A« tend vers zéro, les limites des deux dernières intégrales se rapprochant indéfiniment, chacune d'elles peut être remplacée par un seul élément, et l'on a, à la limite,

,c- (iii r''do{x,(x] , , ^ da ,, dh

f^ariationjinie d'un paramètre.

218. On a quelquefois considéré utilement la variation produite par le changement fini attribué à la valeur d'un paramètre en faisant usage d'une formule, complètement évidente d'ailleurs, qui peut être considérée comme la généralisation

du théorème de la différentiation sous le signe / •

Si l'on pose

/.* M= / (p(.r, 'a.)dx,

les limites a et i étant indépendantes de a, on aura, en désignant par le signe A l'accroissement qui résulte d'un accroissement A a attribué à a,

(6) Au= I A(o{x,x}dx.

On a, par exemple,

-^/ e-'"'dx.

Si l'on attribue à a un accroissement égal à l'unité, on en déduira

A -^ = --■ — - = / ^ e-''-'U-^-y)dx,

et l'application répétée de la même formule donnera

^" e" '^■' dx,

c'est-à-dire, en supprimant le facteur commun 1.1.3. ..n,