Considérons les deux intégrales

I e" ''008(9. a — m) X dx

i2(x— inY+ li-

C^ I. ■ , V j IX— m

I e-'''sm(2x — m)x ax = r- ■

Si l'on donne à a un accroissement A«, et que l'on égale les différences, c'est-à-dii'c les accroissements des deux membres, on en conclura

Jo

- '"^ A cos ( 2 a — m)x dx = A

( 2 a — m)- + It'

J"" 1 A . / , » A ICC — m e~*' A sin (2 (X — m)x dx ^= Il , j- •

L'application répétée de la formule donne

roc /. e-'" dx A" cosf 2 a. — m) X = \" —, r-> [ix-mY+h^

J"* 2 a m e-'" dx S.' s\ï\{r>.x — ni ) .r = A" ; >- • (2a -/n )>+/.»

220. Si l'on suppose m entier et égal à n, et Aa égal à l'unité, ces formules prennent une forme remarquable.

Supposons d'abord n pair égal à 2/j, on a

A''' cos(2a — ip]x^= C0S(2a + 2p)x — y.p cos(2a + 9.p — t.)^ -h . . -t- cos(2a — ^■p)x,

c'est-à-dire

A'''cos(2a — 7.p)x=: cos2a^ cosi.px — 7.pcos{ip — 2)x

H — f-^ — '- icos(2^ — 4)-^ -+-• ■ • + cos^px .

— sin2ax[sin2/>ar — 7.psin{7.p — t.) x +. . . — sin^px].

Le coefficient de cos9.a,^;, dans lequel les termes se doublent deux à deux, est égal ([, 385) à {— i )P 2^'' s\xi^''x, et celui do sinaaaîà zéro, parce que les ternies également distants des extrêmes se détruisent; on a donc

A'/" cos(2a— 2p)x = {— 1)'' yy cosaa.r sin'^x,

et par conséquent

( 7 ) / e~'* cos 2a.r sin'i'xdx =rz — A'/- ^ 7- •

•" Jg f.'P [9.cx — 7.p)-'+ h'

Si l'on suppose n impair et égal à 2p + i , on a AV"*"' sin(?. a — ip — 1) x =r. sir\{nx-\- 7.p -{-\)x — (2/) -)- i) sin(9, a -f- 2/? — \] x

-f ^-i- — ~ sin(2a + 2/> — 3)x — . . .— sin(2a— 2/J — i).r,

^i/>+'sin(2s«— 2/> — i)j? = sin2o:*'[cos(2;> + i)x — (2/7 + 1)008(2/?— i)x+... — cos(2^-f-i)^]

+ cos2a.r sin(2/j + i)x — ?.psin{'îp — j)x

sin['?.p — ^)x—...-hsix\{7.p + i)x •

Le coefficient de sinaao; est nul, car les termes à égale dislance des extrêmes se détruisent, et celui de cosaaa? est égal (J, 835) à (— \)p s'^''-^' sin^''+'a;, et l'on a

J""" , , (— 1)'' . 2a — 2n — I e-*'C0S2ax sm^P-^'xdx = ^ '- Av+' i—- ~.

^ 2'''-^' {ix— ^p — iY+ k'

La différence indiquée dans le second membre étant prise par rapport à a et correspondant à un accroissement égal à l'unité. On a

Av

(2a — 2/>)=-+- /l' L(2«4- 2/))-+ /(^ {■j.oc + rf.p — iY-\- !(■'

ip{2p—\)

(2a + 2/> — 4f 4- A-' {y.a — y.pf + fi'J

Si l'on suppose oc = o, les termes à égale distance de celui du milieu deviennent égaux, et la somme devient égale à

comme l'on s'ea assure aisément en décomposant cette fraction en fractions simples. On a donc

On trouvera de même, en faisant « = o dans la formule (8),

comme on l'a obtenu (I65).

Intégration sous le signe j ■