La formule démontrée (308) donne
mais
donc
li — xY = j — ax-^ ! '- x^ ^^ '-^ ; a;'-l- ...,
I — (I — :rr «(a— !)«(«— i)(a--2)
et par conséquent Posant I — a; = J,
(26) 4.(l + «)= r-^"^rfj+^;(,).
Cette formule peut se vérifier plus directement. On a (306)
^x) — lli.
en supposant que dans le second membre fx désigne un nombre indéfiniment croissant.
Mais on trouve, en effectuant la division,
/ dz = \ 1- • • • H >
jg 1 — 2 X X -i- I X -^ IJ. — l
et l'on a (274)
X'ir^~S)- = "-
donc
Le second terme est indépendant de x. Si l'on y change, en effet, x en .r + a.
l'accroissement qui en résulte est
dz
I^x+'^-lf^..
dz.
dont la valeur est nulle évidemment lorsque fji, est infini. On a donc enfin
dz.
En faisant a? = i , on aura
et l'identité avec la formule (26) est évidente.
On reconnaît d'une seconde manière que si x est rationnel, t|* (a?) — tj; (i) peut se calculer sous forme finie. On a, par exemple,
dr
Vr
et en posant j= s',
