On déduit de la formule
J^ ' z' z' rfz=::|(l + 6)->J;(l-4-«); 0 ' ~^
par conséquent
f ?— :!-- rfz= A(I + a)— lj;(l - rt)= - -f- ij;(fl) - (1.(1 - rt),
c'est-à-dire (307)
dz= 7: COlrtTT.
En multipliant les deux membres par da et intégrant à partir de a = o, on
aura
J^' z°-h z-"— 2 dz . Il .1 .ai:
g I — z tz sinrtTT îT sina;:
Soit « = -'
En posant z = .r-.
z'-hz '—o-dz 2 . 7^
I — z IZ .71 2
sin- ■j>.
i- X' Ix Jo ' -^- ^
( 3 1 1 / -— dx= I -—=/-.
Soit encore a= y,
TT
«•'o I — z Iz . TT a i/o.
sin - '^
En posant z = j\
313. On peut enfin exprimer (|i(.t) par une intégrale sans introduire la transcendante numérique «}'(')• On a trouvé (311)
(34) '>(^'=X ^Tir^ ''- + "'"• X (t31 - r=^) ''^'
lorsque /x augmente indéfiniment. Faisons dans la première intégrale :: =y^, elle devient
et en remplaçant y par s, ce qui ne change rien, et supprimant le terme commun avec la seconde intégrale de (34),
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. Posons encore z^ = u, il viendra
'4>{ jt) = lim
Ut l" \ I
u' du,
c'est-à-dire
du.
.Mais lorsque p, croit indétîniment, le produit ,u.\( — uy-j a pour limite —lu, «i^devient égal à l'unité, et par conséquent
^(")— .r(/.î+fs>^"-
314. Nous ferons connaître une autre expression souvent utilisée de la fonction -^ [x).
On a
mais (241),
dx
-a ^— or
dx.
dT{x) r
dx
= 1 e-z'-'dz\ dx.
En changeant l'ordre des intégrations
dT[x) i"^'dc dx
c'est-à-dire
que l'on peut écrire
dTjx) dx
dlTlxi
' Vo « L {■-*-«)'J
Vo L ' ('+«)']
En intégrant les deux membres par rapport à x entre les limites i et a-, on en
26i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,
déduit, en remarquant que /r(i) = o,
si l'on fait a; = 2, on a
r(2 =1, /r(2 =0, ï '- ^ '— =:{i-har',
et par conséquent
J„ La /{H-a)J
et, en retranchant cette équation de la précédente, après l'avoir multipliée par
En posant
l{i + a) — v, -i + cc — e', X =:; e' — I, dx = e' dv, celte équation devient
(36) lT(a:) ^£ [(x - ,)e-- "'^Z^I"] y'
et l'on en déduit, en différentiant par rapport à x. En posant e^" = ^, l'expression (36) devient
dlT{x-) i'-~- (e- . ^^^
315. En remplaçant v par a, ce qui est évidemment permis, on a
tx
le second membre peut se partager en deux parties, dont l'une se calcule sous forme finie et l'autre tend vers zéro avec x.
Si l'on pose
P = Lr — I
{P + Qe—'jrfa.
Si l'on développe Q suivant les puissances ascendantes de «, les termes qui renferment des exposants négatifs sont
Posons
(4o) F(a:)= r*(P-t-Re-")rfa== r^'f'l'x-
(4>) nT(^) =^" (Q - R)a-"./a ^jf" (^-i^, - ^ - ^) «-" ^' on aura
Or, on peut aisément calculer F(a;) sous forme finie et s'assurer que ■ns\x') tend vers zéro lorsque x augmente.
Montrons d'abord que F (-) et 57 (-) peuvent se calculer exactement. Il suffit
évidemment de calculer Kr(-). puisque leur somme qui représente ^r(-j est
égale (296) à -Wt:.
On a
I i\ --«-doL
et, en remplaçant a par ia.
D'autre part, on a identiquement
