Cale. iiit. I
effet pour différentielle [I, 1 14 (*)] (f{x) dx, et la fonction primitive de cette différentielle, dont rien ne limite la généralité, représentée par une surface bien déterminée, existe par conséquent dans tous les cas. L'ordonnée fixe qui limite la surface étant indéterminée, on peut, en la déplaçant, ajouter au résultat une constante arbitraire. Il est évident d'ailleurs, à priori, que si F (a;) a pour différentielle 9 (a;) <ir, F (a;) -i- C a la même différentielle quelle que soit la constante C. Aucune autre fonction d'ailleurs ne partage cette propriété, car deux fonctions dont la différentielle est la même diffèrent par une constante.
2. La fonction dont la différentielle est f{x)dx se nomme Vintégrale de <f{x)dx; on l'indique en plaçant le signe / à la gauche de la différentielle;
désigne ainsi, d'une manière générale, toute fonction de x dont (s^[x)dx est la
différentielle. Ce signe / n'est autre que la lettre S, initiale du mot somme, et
l'expression (1) se lit : somme de (p{x)dx. Ce nom et cette notation rappellent un point de vue important sous lequel l'expression peut être considérée. L'intégrale étant considérée comme on vient de l'indiquer, par l'aire d'une courbe, elle est évidemment la limite de la somme des rectangles infiniment petits inscrits dans cette courbe, dont l'expression analytique est, en désignant par a la première abscisse,
(2) <f{a)dx-\-'^{a-{-dx)dx -\-(f{a-{- 2dx)dx-\- . . .-t tf[a-\-{n — i)dx]dx,
Il étant un nombre entier tel, que
a -4- ndx = X.
On peut d'ailleurs être conduit à celte expression sans aucune considération géométrique. Soit F (a;) la fonction dont (^[x)dx est la différentielle; lorsque j; varie d'une valeur quelconque oc à la valeur voisine x -\- dx, l'accroissement de Yix) est (1, 46), en négligeant les infiniment petits du second ordre, (f[x)dx', or en faisant passer la variable de la valeur a à la valeur a-\-ndx=x par des accroissements successifs égaux à dx, la somme des accroissements successifs de la fonction sera l'accroissement total, c'est-à-dire la différence F (ccj — F (a). Cette expression se nomme l'intégrale définie de <^{x)dx prise entre les limites a et x.
(*) Nous indiquons ainsi, dans tout le cours de ce volume, par I, le renvoi au tome I", le chiffre placé à la suite indiquant le paragraphe invoqué.
et l'on écrit
(3) f o{x)dx = ¥{x) — ¥{n).
Il importe de remarquer que dans l'équation (3), la lettre x qui sert de limite
supérieure à l'intégrale et celle qui figure sous le signe 1 sont entièrement dis-
tinctes et indépendantes l'une de l'autre. On peut leur donner des noms différents et écrire
<f{x)dx=:¥{l)) — Fia),
Y{x) désignant toujours la fonction primitive de oioc). On a évidemment d'après cela, quelles que soient les lettres x et z.
1 (f{x)dx = j <f{z]dz.
et une intégrale définie n'est pas une fonction de la variable par rapport à laquelle on intègre.
3. F(a7) désignant toujours l'intégrale de y [x) dx, la formule
(S({x)dx — Y{h) — Y{a)
ne suppose nullement la limite supérieure h plus grande que la limite inférieure a\ le premier membre est la somme des accroissements infiniment petits de F (a;) lorsque x varie de la valeur a à la valeur h : peu importe que les accroissements désignés par dx soient positifs ou négatifs. On a d'après cela, quels que soient a et /^
(f{x)dx=r- — I ^{x)dx, Jh
et, en renversant les limites d'une intégrale définie, on change le signe du résultat.
4. Il faut, dès à présent, signaler un cas important dans lequel les définitions précédentes sont en défaut, c'est celui où entre les limites de l'intégration la fonction primitive Y{x) devient discontinue, ce qui a lieu en général lorsqu'elle passe par l'infini. Il n'est plus permis, dans ce cas, de regarder l'accroissement total comme la somme des accroissements infiniment petits correspondants aux accroissements successifs de la variable. La formule générale que nous avons donnée pour exprimer l'intégrale ne représente dans ce cas ni l'aire de la courbe,
ni la somme des accroissements de la fonction. Pour bien faire comprendre celte remarque importante, supposons que la fonction ¥{x) soit égale à ; elle a
pour différentielle —^^ et la formule générale donne, en adoptant pour limites — i et + I , entre lesquelles est comprise la valeur zéro,
( ) et ( ) désignant ce que devient lorsqu'on y suppose x égal à i
ou à — i; on aurait donc
dx
L'élément — est cependant toujours positif, et la courbe dont l'équation est
a la forme suivante
dont l'aire totale comprise entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses — i et + I ne peut évidemment pas être égale à — 2. La formule employée n'est donc pas applicable et nous en avons dit la raison.
Si l'on demande quelle est l'expression de l'aire totale qui d'après la règle générale serait représentée par
il est aisé de voir qu'elle est infinie. Si l'on considère en effet les deux intégrales £ étant un nombre positif très-petit, l'application de la formule générale ne pré-
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, sente plus de difficulté et l'on a
dx I
Ç— lîx
et ces deux intégrales augmentent toutes deux sans limites lorsque s tend vers zéro.
En général, si l'on désigne par a un nombre compris entre les limites a et b, on a
I (j>(.r)f/.r = / '^[x)d.v + / 'j^{x)dx,
et on le vérifie aisément, car en nommant F(a;) la fonction primitive de î>(a:) dx, on a
r o(x)</.r = F(i) — F(rt),
rcf{x)dx = F{oc)-¥{a), f o[x)dx = ¥{h) — ¥{a).
Mais la formule devient fausse lorsque, F(a) étant infini, les deux intégrales partielles deviennent infinies, et les expressions considérées ne présentent plus alors aucun sens déterminé.
On a par exemple, comme on le vérifie aisément par la différentiation,
r dx 11-+-^
On en conclurait, d'après la formule générale,
résultat évidemment absurde et qui s'explique parce que la différeirtielle — — ^ étant infinie pour a7= i, la formule d'intégration n'est pas ici applicable.
Intégrales que l'on obtient immédiatement.
5. La moindre habitude du calcul suggère immédiatement les intégrales do certaines différentielles. Citons par exemple les formules suivantes, qui sont toutes
évidentes et dans lesquelles nous nous dispenserons d'ajouter au second membre
la constante qui doit le compléter :
a^dx=^
Ix,
r dx J "^
/, sin mx cosnixdx:= 1
/, cosmx sm mx ax=: -, m
/, rsinxdx ,
tnnexdx = i =r — Icosx, J coso;
/, r cosxdx , .
cotxdx = I — : ^=lsinx, J smx
dx
= arcsina:,
J \li — x'
r dx
J -^r^j=arctangar,
r dx
I , =lang^,
r dx
