I . . =: — cota
J sm' X
On pourrait à ces exemples en joindre beaucoup d'autres, mais nous nous bornons ici aux cas les plus simples.
6. Nous ferons une seule remarque sur l'une des formules qui précèdent: on a, quel que soit m,
( I ) \ X^dx=:
Le cas où w = — i fait exception : on a alors
et la formule (i) donnerait
/dx
' r dx
Il est aisé cependant de" déduire de la formule (i) la valeur de / — On sait qu'il est permis d'ajouter au second membre une constante arbitraire; cboisissons-la de
telle sorte que celui-ci s'annule pour une valeur déterminée de ce, x = a: on est assuré alors qu'il ne peut plus devenir infini. On a
X'" dx = •
et si l'on fait tendre m vers — i, l'intégrale prend la forme --, mais la véritable valeur (1, 451) est Ix.
Différentes méthodes d'intégration.
7. Lorsque la seule inspection d'une différentielle n'en fait pas connaître l'intégrale, on doit pour la trouver recourir à des artifices dont le choix est suggéré par l'habitude du calcul, mais qui, dans le plus grand nombre des cas, se rattachent à un petit nombre de principes simples qu'il importe de connaître.
8. Une première méthode, celle d'intégration par décomposition, consiste à partager la différentielle considérée en plusieurs autres plus simples dont on réunit ensuite les intégrales.
Cette méthode se justifie d'ell«-méme : nous aurons à en faire de nombreuses applications; bornons-nous à donner ici quelques exemples simples.
C , h-^x , z" .r-i-T , C xdx C dx I
I t/ ■ dx— l -== «,r = I + j , = — v'i — ^ -+- arcsma?,
J \ i — x J ^,^i J y/lTT^^ J ^i—x-'
/, r 1 -h ro^^.x , C dx \ C 1 XI. COS'xdx ^^ I «JC== I 1 I COSIXaX := \--ySlli2X, J 2 J 2 1 J .?. 4
r dx r dx r dx
\ -7— .— = / -r-:; h \ — - = taUg^ — COt X.
J sin^a:cos'.r J sin^a: J nos' x °
9. Une autre méthode, dite d'intégration par substitution, consiste à exprimer la différentielle proposée à l'aide d'une variable nouvelle choisie de manière à en simplifier l'expression.
Soit <f{x) dx la différentielle donnée. Posons a- z^f[z), z étant la variable que l'on veut substituer -à x\ on aura
dx ^=^J'{z)dz, <,{x)dx = <f[f{z)]f'{z)dz,
et si l'on peut intégrer 9[f{z)]f'{z) dz, eu remplaçant dans le résultat :; par sa valeur en x, on obtiendra l'intégrale de (f{x)dx. La différentielle d'une fonc-
tion reste la même en effet, quelle que soit la variable à l'aide de laquelle on l'exprime.
Nous nous bornerons ici, pour cette méthode comme pour la précédente, à en indiquer quelques applications choisies parmi les plus simples.
En posant i + /a? = s, on a
/ — ^ïT'ix — / rfz v^ — ^ 2= = 2 ( iH- /jc y.
En posant x = coss, on a
=: — COS^ Zdz,
et par conséquent (8)
2 2 =: arc cosa: —
/x'dx C . I z 1 . -— =z= = I — cos' zdz = -T sm sji-x' J 2 4
Si l'on pose e^ = j, on a
== I — —^ = arc lang r- = arc langue*.
10. Les deux méthodes précédentes peuvent souvent être réunies et successivement appliquées à la recherche d'une même intégrale. Considérons par exemple la différentielle
dx
on a
dx
dx dx cos'^
cos2a? ~ cos'j; — sin'x i — lang'a:'
et en posant tanga;
dx dz dz 1 \ I \
C0S2ar 1 — 2' 2 \l+2 I — z]
donc
r dx C dz r__^ — 1 / /l±!\-
par conséquent
/dx 1,1-1- tanea: i , [tt == - / 2 — - l tang [-7 + X cos2^ 2 I — tanga: 2 ° \4
11. La môthode dite (Y intégration par partie est fondée sur la formule
dm' r= uffv + vdii, dont on déduit évidemment
iH' T= I «//(' + 1 i'r/ii,
et par conséquent
(i) |«rA'=»(' — 1 i"fu.
Si donc on sait intégrer la différentielle vdu, oh pourra, par cela même, intégrer udv.Une différentielle étant donnée, on pourra par conséquent, pour la transformer, la décomposer en deux facteurs dont l'un soit intégrable immédiatement, et, après l'avoir mise ainsi sous la forme udv, on appliquera la formule (i) qui ramènera la détermination à celle de l'intégrale de vdu. L'habileté du calculateur consiste à choisir de la manière la plus avantageuse les deux facteurs dans lesquels il décompose la différentielle donnée.
Nous nous bornerons, comme nous l'avons fait pour les méthodes précédentes, à donner ici quelques exemples.
Soit à chercher
x'ix dx.
Posons
la formule (i) donne
X' X^ dx :=</-,-= (/f
Ix = II,
f , , , X' , Cx' dx .r< , X' I xuxdx = ^ Ir — I := -j- Ix ij-
Soit encore à chercher
arc smxdx.
Posons
x^ X dx = d — = dv,
arc sin.r ^ m.
la formule (i) donne
r , . X' . r x^dx
l xdxa,rc?,\x\x T= — arc %\nx — I — =^=
./ 2 Ja^I — X'
L Cnir.
c'est-à-dire (9)
I xdx
arc sin^r = — arc siwx + -= arccos^r — -; V' — x'. 2 4 4
Considérons enfin l'intégrale
' xe^ dx
r xe' dx
Posons
dx
x)- \i-hx/
xe' = II, la formule (i) donne
C xe' dx xef C , — xe'
