Appliquons cette formule à l'intégrale
' l{\ -i- x] , Ti u r- 1
ria::= 3/2 = 0,27219 09.0 1 à .
On a, en supposant n — 10,
et
et
d'ailleurs
4(7.4-73 + 75+7,4- Ja) = 5,4807260440;
7o + 7in = j,„ = o , 34657 35903,
et la formule (5) donnera
dx = 0,27220 12457
avec trois chiffres exacts seulement, c'est-à-dire le même nombre que par l'emploi de la formule de Cotes, lorsqu'en y supposant n = 5, on a à calculer un nombre moitié moindre d'ordonnées. Les multiplicateurs, il est vrai, sont plus simples dans la formule de Simpson; mais il est rare que cet avantage compense l'inconvénient d'une moindre exactitude ou, ce qui revient au même, la nécessité d'accroître le nombre des ordonnées pour obtenir une approximation suffisante.
Méthode de Gauss.
369. Gauss a remarqué fort ingénieusement qu'il y a avantage à substituer aux ordonnées équidistantes considérées par Cotes des ordonnées dont les abscisses se succèdent suivant une loi qu'il a fait connaître et qui, dans le plus grand nombre de cas, assure, pour un même nombre d'ordonnées, une approximation beaucoup plus grande.
Considérons une intégrale de la forme
J9(^) dx, f)
à laquelle on peut, comme on l'a vu (363), ramener toute intégrale prise entre
3i0 DEDXIEME PARTIR. - CALCUL INTÉGRAL,
deux limites finies a et h. Soit
9( a; ) -^ a, + «, .r -t- rt, ^' + . . . + rt„ X" + a„
Supposons que l'on calcule n-\-\ valeurs de <p(.r) correspondant aux abscisses a;^, a;,,..., x„ comprises entre zéro et l'unité, et que l'on substitue ensuite à ^[x) la fonction entière de degré n qui coïncide avec elle pour ces valeurs cboisies de la variable, l'erreur commise sera nulle, quels que soient ^i,, ir,,..., x,„ si la fonction y (a;) se réduit à un polynôme entier de degré inférieur h 7i+ i. Gauss se propose de choisir ces abscisses de telle sorte que le degré du polynôme puisse s'élever jusqu'à in sans que l'erreur cesse d'être nulle, et si alors la fonction ç(a;) est représentée par une série convergente en la concevant comme composée de deux parties, les 2n+ i premiers termes d'une part, et la somme de tous les autres d'autre part, c'est sur l'intégrale de la seconde que portera l'erreur, qui sans cela aurait été commise à partir du [n + i)"''"'^ terme.
Soient ir„, x , x^ les abscisses qui remplissent les conditions énoncées, et
En nommant/(a:;) un polynôme de degré inférieur à 2«+ i, Q le quotient de la division de ce polynôme par ■i^ix) et R le reste, Q étant un polynôme de degré n — \ et R un polynôme de degré n an plus, on aura
/(.r)=:=Qij>,.r) + R.
Or la méthode d'interpolation revient dans ce cas à remplacer /(.r) par le polynôme R qui lui est évidemment égal pour les valeurs x^^x^,..., x„ de x (|ui annulent '^{x), l'erreur commise est donc
Q ip ( ."P ) dx.
et pour être assuré que cette erreur est nulle, il suffit de déterminer 'i^{x) par les conditions
/ >l^(.r) rf.r = o, / x-^- x)(1x — (i,. .., \ x"-' 'l^[x)dx — o.
On y satisfait en prenant
(ix"+'
On a en effet, en intégrant par parties.
=^ xP l ^{x)dx — px!"^' i dx l '^(x)dx -\- p( p — i) / xi'--dx j dx j <\i{x)dx - rP j <\i{x)dx — pxP-' I dx j 'li{x^ dx + p' p — i)xP-^ j dx j dx j ']i{x]dx -P'P-'XP- .)fxr-U,xfdxfdxf^ix) dx :
la loi est évidente; en continuant jusqu'à épuiser l'exposant de x, et en représentant, pour abréger, par
I 'b{x]dx'' l'intégration k fois répétée 1 dx j dv j • ^(.x) dx, on a
I xP<\i(x)dx= xP I <\i{x) dx — pxi'-' I ']i{x)dx'' -h p{p — i) xP-' I '\i{x)dx' -h . . .
±1.2.3. . p j <\i{x)dxf+'.
Mais/) + rjétant au plus égal à n, toutes les intégrales indiquées peuvent s'effectuer, car <i^{x) est une dérivée {n-\- ij'""*, et donnent pour résultat des polynômes qui, contenant à chaque terme un facteur x et un facteur i — a; au moins, sont tous nuls aux deux limites; on a, par conséquent, comme il a été annoncé,
/ XP Ûl{x)dx ^rz O.
Toutes les racines de l'équation
sont réelles, n-+- 1 d'entre elles égales à zéro, et les « + i autres égales à l'unité, et, par conséquent, d'après un théorème très-connu d'algèbre, toutes les racines des dérivées successives, et en particulier celles de la {n-h i)'^"'«, sont réelles aussi et comprises entre zéro et i.
La forme de l'équation (6) montre que les racines de l'équation ^{x) = o ont deux à deux pour somme l'unité, et. (|uand leur nombre est impair, l'une d'elles
par conséquent est égale à -•
;Uà DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGUAL.
En adoptant ces valeurs pour a:-,,, x^,..., x„, l'intégrale proposée sera remplacée par
f\dr,
R, étant un polynôme de degré n qui devient égal à çfar) pour les valeurs a7„, .-r,,..., Xn de la variable, est déterminé par cette condition et égal h
" (f{Xi,) [x — X)){X — x^). . . [x — x„)
qui la remplit évidemment si l'on prend
Y p — [ OC p OCsi j [ X p ■ jC\ ) . . . y Xp X p — I j \ X p X p^\ j . . . [ X p X,i j
rme
La valeur approchée de / f{x) dx prend d'après cela la fo
7) / R(/.r = A„ç(ar„) + A, 9(^,) + . . . -t- A„<p(a'„).
Nous donnons ici les valeurs Ae x^, x^ a?,, et les logarithmes des facteurs
correspondants pour les cinq premières valeurs de n : Pour /* =: o,
Pour n — i.
Xa = 0,21 l3 2487
Pour /2 = "2,
ar„ = 0,1 127 01 65
Ao = A,= ^
Pour « = 3,
log = 9,698 9700
log = 9'443 6975 log = 9,647 8175
^„= 0,0694 3l84 Ao=r A3 := 0,173 9274 log =: 9,240 368 I
^, = 0,33000948 A, = Aj = 0,326 0726 log ^= 9, 5i 3 3 143 x-i = 0,6699 9052 X3 r= o,93o5 6816
Pour n — l\,
Xi = o,o46g ioo8 Xi = 0,2807 6534 x, = 0,5
Xi ;= 0,7692 3466 Xt := o,g53o 8992
Ao = A, = o, 1 18 4634 A, = A3 ^ 0,239 3 143
log = 9,073 5834 log "- 9,378 9687 10fe'^= 9,453 9975
Pour n = 5,
^•j = 0,0337 6524 Xt —- 0,1693 9531 X2 ^= 0,3806 9041 X3 -= 0,6193 0959 Xi = o,83o6 0469
Xi =: 0,9662 3476
A» = As = o,o85 6622 A , =; A, ^ 0, 1 80 38o8 Ai = A3 =: 0,233 9570
log -■= 8,932 7895 log - 9,256 1903 log = 9,369 i36o
