CALCUL NUMÉRIQUE DE LA VALEUR APPROCHÉE D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE
Méthode des trapèzes.
362. Lorsqu'il n'est pas possible de déterminer exactement la valeur d'une intégrale définie, on doit recourir à des méthodes d'approximation pour en calculer la valeur approchée. C'est à l'exposition de ces méthodes que nous consacrons ce chapitre.
Une intégrale définie
cfi{x)dx
représente l'aire comprise entre l'axe des y, la courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est y^(p[x), et les ordonnées qui correspondent aux abscisses a et b. Pour évaluer cette aire approximativement, on peut d'abord substituer à la courbe un polygone inscrit et remplacer la surface cherchée par une somme de trapèzes.
Supposons que l'on partage l'intervalle b — a en n parties égales, et que par les points de division on élève les ordonnées y,, y^, ■ . . , Yn-i', h> somme des trapèzes, dont les ordonnées sont les côtés, sera, en nommant y^ et y„ les deux ordonnées extrêmes.
et cette formule donnera une valeur d'autant plus approchée que le nombre n sera plus grand.
Méthode d' interpolation de Cotes.
363. La connaissance des ordonnées jo.Ji Jn permet, en général, d'obtenir
un résultat plus approché que le précédent. En substituant à la fonction (p{x) une fonction entière de x qui coïncide avec elle pour toutes les valeurs calculées, ces valeurs étant au nombre de n -+- i , la fonction nouvelle sera de degré n. On
l'intégrera aisément; et si n est sutrisamnient grand, l'erreur commise sera le plus
souvent extrêmement petite.
Les calculs auxquels donne lieu la méthode précédente peuvent être notablement simplifiés par la détermination préalable des résultats communs à tous les cas et leur réduction en formule.
On peut d'abord, quelle que soit l'intégrale, ramener les limites aux valeurs fixes zéro et i . Soit, en effet,
nb
En posant
aux limites a et ^ de a? correspondront les limites zéro et i de t.
Cette transformation n'est pas applicable, il est vrai, quand l'une des limites est infinie, mais on peut la remplacer par une infinité d'autres qui conduiront au même but. Si l'intégrale proposée est
Jf* QO
dx.
on pourra poser e~^ =^y, et aux limites zéro et oc de a; correspondent les limites i et zéro de y. S'il s'agit d'une intégrale de la forme
J QO
on pourra la partager en deux autres
/•O /'•oo
/ (^[x)dx-^ 1 (f{x)dx,
J — 00 Jo
puis poser dans la première e^ =y, et dans la seconde e'""— s. Occupons-nous donc seulement de l'intégrale
, .i- ) dx.
Soient j„, y,, . . . , j'„ les valeurs que prend la fonction /(a?) quand on y suppose
== o, iC = -!
n Si l'on pose
a; = o, iC = -? X ^:= -,■•■■, X =^ , X = i
Y nx{nx — i). . .[nx — n)
' nx — p
et que M^ désigne la valeur que prend X^ pour a; = -» la fonction entière et de degré n
se réduira évidemment à j^ pour la valeur a;= -î et elle pourra, par conséquent,
dans l'intervalle considéré, remplacer la l'onction /(a;) avec laquelle elle a « -+- i valeurs communes.
Xp et Mp étant, pour chaque valeur de n et de p, indépendants de la forme de la fonction ^[x], on peut calculer à l'avance l'intégrale
et l'on aura alors
et la méthode se réduit, par conséquent, à multiplier les ordonnées Vo, fi, ■ • • , y,, par des facteurs numériques calculés à l'avance et qui sont les mêmes dans tous les cas.
Ces valeurs sont les suivantes :
Pour « = I,
Ao i\i ^
pour /i = 2, pour n = 3, pour n = 4»
pour n = 5, pour n — €,
Al ^^^ Al ^^ ^? Al ^= :^ î
Ao:=A.i = ^i A, = A2
Aj — A4 — '^ t A 1 — A3 — 'Te ' -^^ "
IQ 25 QîS
Aa ^^^ As ;^^ 00 ' ^' *"" A* ^^^ « > Aj ^i^ A3 ^^ 7-7 * 200 gb I 44
A| — As — "^î -Aï — Al
pour rt = 7,
pour n = 8,
pour /t = 9,
2857 l5'74l 2*7 A|,= As=S— E ' A,=:Ab = ô"-2 ' A2;=A9 = 7-5
89000 89DOO 2240
A3=: Ali = ly^ » A) = As =
56oo * ' 44^00' pour «= 10,
364. Pour donner une application de la méthode précédente, considérons l'intégrale
la valeur connue du résultat à obtenir nous apprendra le degré d'approximation. Appliquons d'abord la méthode des trapèzes. On a, en supposant n= 10,
<p(o)z=i, (fi — 1 = 0,90909, (})( — 1=0,83333, <fi — 1 = 0,76923,
<?(—) = 0.7 '429. 9^— ] = o.66667, cp^— j = o,625,
cpl'^W 0,58824, 9 (-^Wo, 55556, 9^^") = 0,52632, 9(1) = 0, 5;
et en appliquant la formule (i), on trouve pour valeur de l'intégrale
L'erreur porte, on le voit, sur la quatrième décimale.
La méthode de Cotes donne, pour la même hypothèse n = 10,
et l'erreur ne commence plus qu'à la septième décimale. 365. Prenons pour second exemple l'intégrale
(Ix =: -^ /2 = 0,2721082.
En appliquant la méthode des trapèzes dans l'hypothèse de n= 10, on trouve pour valeur approchée
et l'erreur commence à la troisième décimale.
Si l'on emploie la méthode de Cotes, en faisant seulement /i = 5, on a
Ao <p(o) =0.,
A, cp(-| = 0,0456534,
(p I ^ I = o,3584o65, A< cp 1 ^ j = o,o93335o, 9 (i) =0,3465736, Ai <p (i) =r 0,0228642,
avec trois décimales exactes.
366. On peut d'ailleurs indiquer d'une manière générale l'ordre de grandeur de l'erreur commise dans chaque cas.
Supposons, en effet, que la fonction ^(ic) soit développable en série convergente
^{x)T=a,-i-a,x + n,x^-\-...-ir a„x''+n„+, a:"+' + a„+, ar"+' -f- . . . .
Si l'on calcule les valeurs de <p{x) correspondantes à 07 = 0, ce = -,•••, œ= ^^» jc=i, et qu'on applique ensuite la méthode de Cotes à la détermination de l'in-
tegrale
le résultat sera évidemment le même que si l'on avait appliqué successivement
cette méthode à chacune des intégrales
Ja^dx, j a^xdx,.. , i v.nX"dx., j a,,^, x"'*'' dx , . . . ,
pour ajouter ensuite les résultats obtenus. Or les n -t- i premières intégrales seront ainsi calculées sans aucune erreur. On sait en effet que la méthode d'interpolation au moyen de laquelle on substitue à une fonction donnée un polynôme de degré n donne identiquement la fonction proposée elle-même toutes les fois que celle-ci est entière et de degré inférieur à n-t-i; l'erreur commise sera donc la somme des erreurs commises dans l'évaluation des intégrales
M/j-j-l X llX f I f^^ii+i X uX J . ■ . ^
et elles sont respectivement égales aux produits des coefficients «„+,, a„+o, . . . par des nombres invariables que l'on peut calculer une fois pour toutes. Soits^ l'erreur
commise dans l'évaluation de 1 a;"+' clr, ou trouve
pour n = I ,
pour n ^= 2, pour n = 3, pour n = 4.
pour n= 5, pour n = G,
El — — 2;5 t, — — -71 El — — ;
Si = 5 £i = ■ TT ;
1 1 SaSoo
I 5ooo '
pour
pour n = 8,
pour n = 9,
pour n — 10,
io5884io ' 2352980'
i73oi5o4 ' 3145728
365oooooooo
Si l'on suppose
Y^'i 'Y'i I -yl
l'erreur commise pour n = 10 sera la somme des erreurs commises sur les intégrales (les termes — x", + x^-, — x^^, .... Les trois premiers termes sont
260927 i365oooooooo 210000000U0'
leur somme est
(jui surpasse l'erreur totale du sep'tième environ de sa valeur.
Formule de Simpson.
367. Lorsque l'on suppose «= i, c'est-à-dire quand on se contente de calculer l'ordonnée j, correspondant à « = -, les deux ordonnées extrêmes étant désignées par j„ et J2. la formule de Cotes devient
J cp ( a; )-dx := --^ -I- vj y\ -t- -^ =-- s ( }\ 4- ^)\ + „v, ).
Cette formule s'étend aisément au cas où les limites sont quelconques, et l'on en déduit
<^{x) dx = ^—^[r. + f\y\ + T-0-
L CaU-. i/tt.
Jo' Ji 6t fi désignant les valeurs de 153 [x] correspondantes à a; = a, x = et
x= b : il saftit en effet, comme on l'a dit (363), pour réduire la formule (3) à la forme (4). de poser
et alors aux valeurs zéro, - et i de t, correspondent les valeurs a, et b de x.
Mais la formule approchée (4) est d'autant plus exacte évidemment que l'intervalle 6 — a est plus petit, et c'est pour cette raison qu'avant d'en faire usage il est bon de partager l'intégrale en plusieurs autres à chacune desquelles on l'appliquera successivement.
Soit l'intégrale
On a, n désignant un nombre entier,
rt \ r\n r^ll /•« /> r
/ (fi{x)clx=:j a{x)dx-i-j (f{x}(/x-hl o(x)dx -t- . . .+ j (f[x)dx,
Jo Jo J \ t/2 ^J n — 1
et en appliquant à chacune de ces intégrales la formule (4), après avoir préalablement calculé, comme elle l'exige, les valeurs de la fonction qui correspondent
aux abscisses — ? — »• -j ? on trouvera, après des réductions évidentes, en
2 n 7.11 are '^
k nommant y,, la valeur de la fonction c(5rrespondant à a? = - >
(5) I cf,{x)dx = g^[4(j-.+.r3 + .-.+r.»-i) + 2(jo-Hj\ + ...4-r,„)-jo-j=,-].
