Prenons pour second exemple l'intégrale

/ log(i + x) , et soit n = 4, on aura 9 = — ^^ et

log&(.r) = 8,66o3i88 logA ^9,073 5843

Aœ(x) =: o,oo54 1880

Xi =::: 0,23o7 6534

log9(^,)== 9,294 7709 logA, = 9,378 9687

x-2 ^= 0,5 logç(x2) = g,5i 1 0435 logAj = 9,453 9975

8,965 o4io Aj o{x2) = 0,0922 658o

.^3 =: 0,7692 3466 logcp(^3)z=9,554 4240 log A, = 9,3789687

o,oo54 1880 0,0471 iSoi 0^0922 6584 o,o4i5 5404

o,2'j/^i 9801 Par conséquent / :/ dx= 0,2721 ()8oi, exact aux six premières décimales

X, =; 0,9530 8992 logû(.r,) := 9,545 0289

logA, =9,073 5843

Ai o{x.,) '-= 0,04 T 5 5404

Formule d' Eulcr

372. Nous avons donné (I, 333) une série due à Maclaurin dont Euler a déduit une formule élégante et souvent employée pour le calcul approché des intégrales définies.

On a, quelle que soit la fonction (f[x),

(8) 9{x-+-/0-9(.r) = /i9'(a;)+ - [<sf'(x + li) - (if'{x)]— ~[(f"{x + h- c^"{x)\

B„ désignant le n"""" nombre de Bernoulli.

Mais cette formule ayant été déduite de la méthode des coefficients indéterminés, les conditions de convergence et d'exactitude ont été absolument laissées de côté, il est donc indispensable d'en donner une démonstration plus rigoureuse et plus précise.

Nous commencerons par démontrer de nouveau la formule de Tavlor, en donnant à l'expression du reste une forme nouvelle.

On a identiquement, quelle que soit la fonction 'S'(or),

r.r -+- Il <f'{z)(/z,

et en posant z = .r -h // — ii

) du.

En intégrant par parties et faisant successivement porter l'intégration sur du, Il du, irdii,..., on trouve

l o'{x + h — u) f/n-=t ho'{x) -h i no"[.T -y- h — u)ihi,

r'' /(' r'' II'

j uo''{x + h —u)(hi=i — '^"{x)+ \ - 'j"'(x+ /) — n}dii,

/ - 5"'(.r + // —■u),/n = -—.^ 9'"(.r ) + / — „ 9- [x + h - u] du, ./„?.' 1.2. a J^ ï.S

et ainsi de suite.

On en conclut

of.r -(-/()- cp(.r) T^ Iiq':,x) + — - o"{x) H '^ o"'{x) +

- I 0"+ 'Ix -h /i — u]

Ju '•2-3...«^

C'est précisément la formule deTaylor, dans laquelle le reste qui complète les n + i premiers termes est exprimé par une intégrale définie.

373. Pour déduire de celle formule le développement rappelé plus liant, dans l'équation

remplaçons successivement la fonction o{x) qui reste arbitraire, par (^'{x), v/'[x),.,.,

fi-"~*(x), el diminuons à chaque fois d'une unité le nombre arbitraire des termes

conservés dans le second membre, de telle sorte que la fonction (f.^"*^' (a; -1- h — u)