LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Quelques applications.

384. Aire du cercle. — Soit x^ + y- = R' réqualion d'ua cercle.

L'aire AOMP est représentée par

Jydx = i (Ix JW — X' ~ — aie siii r t v'R' — x\

Tr\{'

En faisant x = R, on obtient le quart du cercle '^ On obtient le même résultat en posant

et par conséquent

*■ := Rcoso, y =: Ksin 9,

ydx = — R' sin^9 do.

Les extrémités du quadrant correspondent à » = '', ç- = o, et le quart de cercle a par conséquent pour expression '

— R^ sin-9 (/(^ = RH sin-'cpJp- -y-' 385. Développée de l'ellipse. — La dévelop|tée de l'ellipse a pour équation ! I, 527^

On peut poser, pour un point quelconque de la courbe,

X =: (X cos'9, dx — ia COS-9 sin9 d<^, y ~- (3 sin^ 9,

et comme on obtient le quart du contour en faisant varier © de - à zéro, le quart de la surface a pour expression

ydx=^\ — 3a(3 sin'9 cos'9 ^9 = 3a(3 / sin'cp (i — sin'9 W/9 =

3Tr«P -32"'

et l'aire totale est égale à -~^-

386. Aire d'un secteur elliptique. — Soit BMA un quart d'ellipse, F le foyer. Calculons le secteur FMA dont l'expression est utile dans l'étude du n)ouvemenl des planètes.

L'équation de l'ellipse rapportée au foyer F pris pour pôle et à l'axeFA pour axe polaire est

rt ( 1 — e' ,

i + ecosM

Soit MP la perpendiculaire abaissée du point M sur l'axe et N le point où elle coupe la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre. Désignons l'angle NOA par u, on a, d'après les propriétés connues de l'ellipse,

p :=^ a — ejc = a ; I — e cos m ;, 0 COS6) = a cos M — ae.

Et remplaçant p par sa valeur (3j (I — e') cosw

cosM— e ( I — e)(i + cosM)

cos M — e = ' '- 5 cosw = ) 1 H- COSM :=

i+ecosM I — ecosu t — ecosK

tang

1 /i — cosw __ /i

2 ^ y I + cosw y I

cos' - w

cos 01

e du

- lang-M,

cos' - «

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. OU, ce qui revient au même

3ri9

I + COSW

e I 4- cosM

par conséquent

- / j , . /i+e du (i — e)(H-C0SM)

0- Il M = a' i — e cosu l' \/ T^T'Z^IT. i ^W^^,', = « yi — eM i — e ces m) du,

I — e i + cosM I — ecosM

- 1 p^d(.> ^=: ~ n^ \/i — e' {u — esinu). 387. Aire d'un secteur parabolique. — Soit y- = f\ax l'équaliou de la parabole,

X, y les coordonnées du point M, x', y' celles du point M', F étant le foyer, calculons le secteur MFM'. On a, comme on sait par les éléments,

OMP=:^.rj,

OM'P'=^x'x',

et par conséquent

S = MFM' :-^ I ^' r' - I xr - PMF - F M' F = § ix'r' - xr) - ^^^ ' "^^ - -"^-'-^ — ■-

; Ix' y' — xy) 4-

Mais on a

par consé^juent

y' ■— 1 {âx', y ^ ■?. \/ax.

-^ = x' ^x' — X ^x + 'ia f v'j:' — sjx) = {\fx' — \Jx) {x' -^ x + yjxx' + 3a).

.e second membre s'exprime élégamment, comme l'a montré Lambert, en fonction

;mil DEUXIÈME l'ARTlK. — CALCUL INTÉGRAL.

de la somme p + p' des rayons vecteurs MF, M' F cl de la corde MM' que nous désignerons par (7.

On a

p = rt + X, rj :^ n — X, .

(5) p -+- p' = art + .r -h x' ,

[6) (7' = {y— y' ? + [x—x' )= = 4a ( \j~x — s/x'Y + (x - x'Y= ip + p' )'— 4 (" -+- \/-x^' ;'• Les équations f .')) et (6) vont nous fournir les valeurs de x et de x'. Posons

les équations (f)) et (6) deviendront