LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. . 3S

données infiniment voisines MT, M'T', dont la distance est dx, coupent le contour en des points dont nous représenterons les ordonnées par r, , y.,, y^, y^, y^, Vg; et l'élément de surface correspondant est évidemment

jv-

n -*- Yi — y',]dx.

En nommant i/s,, (/s.,, dsj, ds^, di\, ds^ les petils arcs dont la projection commune est TT' ou dx, et «,, a.,, a,, «4, a^, c,, les angles formés par l'axe des y avec la normale extérieure à cliacun d'eux, on a

dx =: dse ces a,, = — dsi ces «5 =^ ds, cosai

dsi coso;, " dsi ces a,

dst cosa,,

et la somnie des expressions telles que f i) est par conséquent représentée par

1 ydscosac.

L'intégrale devant s'étendre au contour entier, quelle qu'en soit la forn)e; la démonstration, qui est générale, repose sur ce principe évident que lorsqu'une droite rencontre en plusieurs points une courbe fermée, elle forme avec la normale extérieure un angle obtus en tous les points par lesquels elle pénètre dans le contour, et un angle aigu en tous ceux par lesquels elle en sort.

382. Lorsqu'une figure plane est rapportée à des coordonnées polaires, on peut aisément exprimer les portions de son aire comprise entre les deux rayons vecteurs. L'aire comprise entre un rayon vecteur fixe correspondant à l'angle a et le rayon variable qui correspond à l'angle w, a en effet pour différentielle (L 116)

- /i^ dro, et l'aire elle-même, qui s'annule pour oi = a, est représentée par l'intégrale

en supposant toutefois a moindre que ',>.

Pour évaluer l'aire d'une courbe fermée à laquelle l'origine est extérieure, on commencera par mener du pôle deux tangentes OM, OM' à cette courbe, et l'on

remarquera que la surface demandée est la différence des deux aires OMKM',

OMK'M', qui chacune s'évalueront à l'aide de la formule précédente. En nommant p, et p2 les deux rayons vecteurs qui répondent a une même valeur de w, cette aire sera

les limites de l'intégrale étant les valeurs de 'o qui répondent aux rayons extrêmes OM, OM'.

Si la courbe n'est pas convexe, on peut être obligé, comme dans le cas des coordonnées rectilignes, à décomposer la surface en un plus grand nombre de parties comprises chacune entre deux tangentes issues de l'origine et l'arc que leurs points de contact interceptent sur la courbe.

383. On peut, en employant toujours les coordonnées polaires, représenter l'aire d'une courbe fermée par une intégrale unique qui convient à tous les cas. Si deux rayons vecteurs voisins coupent la courbe aux points M(, Mj, M3, M,, dont les rayons vecteurs soient p,, p^, p^, p^, l'élément de surface compris entre ces deux rayons vecteurs est évidemment

'-d(,){p] — pi + pi- p] .

En nommant ds,, ds^, ds,, ds^ les éléments de contour compris entre les l'ayons considérés et «,, «2, «3, a^ les angles formés par les mêmes rayons avec les normales extérieures aux divers éléments, on a .

, f/ij cos«, dstCOSa.1 ^ ds^ cos 1x3 ds,coscCi

et l'aire est exprimée par l'intégrale

(2; " i P dscosx,

étendue à tous les éléments du contour.

On peut remarquer que le produit p cosa est égal à la perpendiculaire p abaissée du pôle sur la tangente à l'élément ds, et l'expression peut s'écrire par conséquent

^Jp^"-

Mais, en lui donnant cette forme, on perd l'avantage de n'avoir pas à se préoccuper du signe des éléments que l'on doit ajouter.