LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et comme jce est évidemment la surface de la base, on voit qu'un conoide dont

la directrice est parallèle au plan de la base a pour mesure le produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

441. Considérons enfin le volume défini de la manière suivante : ABC, A'B'C sont deux triangles quelconques situés dans des plans parallèles; par les quatre côtés de chacun des quadrilatères ABA'B', ACA'C, BCB'C on fait passer un paraboloïde hyperbolique. Ces paraboloïdes et les deux triangles servent de faces au volume considéré. Prenons pour plan des XY celui du triangle ABC, les plans

parallèles aux doux bases ABC, A'B'C étant parallèles à deux génératrices de chaque paraboloide les couperont suivant des lignes droites et par conséquent donneront pour sections des triangles. Si l'on nomme T la surface de celui qui correspond à la section dont l'ordonnée est s et h la hauteur du solide, c'est-à-dire la dTslance des deux bases parallèles, le volume clierché a pour expression

Tdz.

I.e triangle T, étant parallèle au plan des XY, se projette en vraie grandeur sur ce plan, et comme les équations des droites A A', CC, BB' sont du premier degré, les coordonnées des trois sommets sont des fonctions du premier degré de z; la surface du triangle est donc elle-même, d'après la formule bien connue (|ui la représente, une fonction de la forme

Az' -i- A' z -h A",

A, A' et A" étant trois constantes, le volume est représenté par l'intégrale d'un trinôme entier du second degré. La formule donnée (367) comme exprimant approximativement sa valeur est donc dans ce cas rigoureusement exacte, et si l'on nomme

B, b, M les surfaces des deux sections extrêmes et de la section faite par un plan équidistant des deux bases, on aura

442. Le résultat précédent peut être généralisé. Considérons sur le plan des XY un polygone quelconque P et par chacun de ses sommets une ligne droite. Si nous coupons le faisceau de droites par un plan parallèle à celui des XY, nous obtiendrons les sommets d'un polygone de même nombre de côtés que P. Recouvrons, comme dans le cas précédent, par des paraboloides hyperboliques chacun des quadrilatères dont les côtés opposés sont les côtés correspondants des deux polygones, le volume enfermé entre eux et les surfaces des deux polygones pourra s'évaluer par une formule identique à celle qui termine le paragraphe précédent. La surface de la section faite par un plan parallèle aux bases et mené à la distance z de l'une d'elles sera encore en effet une fonction entière et du second degré de z, et c'est sur celte circonstance seule que reposait la démonstration qui s'applique à tous les cas pour lesquels elle se présente. Le polygone P pouvant avoir un nombre quelconque de côtés peut évidemment être remplacé par une courbe fermée quelconque, et l'on peut énoncer le théorème suivant :

Si une surface réglée est telle, que deux plans parallèles la coupent suivant deux courbes fermées de surfaces ^ et b et que la section faite à égale distance de chacune d'elles ait pour surface M, le volume compris entre la surface et les deux bases B et b, dont la distance est h, a pour expression

443. La démonstration de la formule précédente suppose seulement qfie la section parallèle à la base et menée à la distance z soit une fonction entière et du second degré de s, et celle condition est remplie dans un grand nombre de cas, lorsque le volume est compris par exemple entr(! une surface quelconque du second degré et deux sections parallèles de forme elliptique; la mesure d'un tel volume est donc le sixième du produit de la hauteur par la somme de ses deux bases ajoutée à quatre fois la section faite à égale dislance de chacune d'elles.

Emploi d'une double intégration.

444. La décomposition d'un volume en cylindres infiniment minces à bases parallèles peut s'appliquer à tous les cas, mais il arrive le plus ordinairement que l'expression de la section qui sert de base à l'un de ces cylindres, au lieu d'être connue à priori, doit elle-même être déterminée par une intégration préalable. Le calcul du volume exige alors deux intégrations successives, et son expression est une intégrale double. Considérons le volume compris dans l'intérieur d'un cylindre parallèle à l'axe des Z, entre le plan des XY qui lui sert de base et une surface connue qui remplace l'autre base. Les plans parallèles à celui des ZY détermine-