TT TT

j j p' sine de d'\i dp = 2t: j p'sindd9dp

cos8)'sm9d6 = -^ttA'.

On doit donc poser

Pour calculer l'action exercée, considérons le volume élémentaire p^sin 5 (/ôrfprftj;- En nommant D la densité, on aura pour expression de son action sur la molécule de masse [j. placée à la distance p

nDsinô dpdOdi\i,

dont la composante dans le sens de l'axe, direction évidente de la résultante, est

fiD cosSsinô dpd6d<\i.

et l'action totale est par conséquent

\ I cos9sin9(/prf 9 </(]>.

En intégrant d'abord par rapport à i|>, puis par rapport à p, enfin par rapport à Q, on trouve

c'est-à-dire, en remplaçant k par sa valeur,

^p.DTray'^.

Telle est la plus grande attraction que puisse exercer sur une molécule de masse /x une masse homogène de densité D et de volume égal à une sphère de rayon a.

attraction d'une sphère.

464. Cherchons l'attraction d'une sphère pleine homogène de rayon R et de densité D sur un point de masse |x situé à la dislance a de son centre. Si le point attiré est situé sur l'axe des X, la composante A, dans le sens de cet axe, est évidemment la seule à calculer, et les deux autres sont nulles à cause de la symétrie. On a trouvé (459)

r désignant la distance de la molécule da de la surface sphérique à la. molécule attirée fx, et XN l'angle de la normale, c'est-à-dire du rayon qui aboutit à l'élément fl?(7, avec la partie positive de l'axe des X. On a

rf(T=R'sin9rf9rfi|/,

cosNX = cos9,

et l'attraction A est par conséquent

t^n, r" r'^^sinÔcosg ,, ,, T,u, r" r^" sin9cos9 ,„,,

A=— aDR= I dQd<h=— u.HK' \ \ -=^dBd<]j,

Jo Jû '■ T r j^^ j^ v'a^+R'— aaRcosô

c'est à-dire, en effectuant l'intégration par rapport à ij;,

■ni., r" sinecos9 ,.

— 27r,aDR= / ~^=r de.

Jo v^fl'-f- R'— 2aR cos9

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. On a, en intégrant par parties,

J y/a'+R'— aaRcosâ aK «R J V

cos6 "âR~

V^rt'-l-R' — 2aRcos9-

R'— aaRcosO)

L'intégrale prise entre les limites 5 = o, ô = ?: est ^*,5 et l'on a enfin

La sphère pleine liomogène attire par conséquent une molécule extérieure comme si sa masse entière était réunie à son centre.

465. Lorsque le point attiré fait partie de la masse attirante, le résultat précédent n'est plus applicable. Le radical y^a^-f- R*— aatl cos5 représente en effet une distance toujours positive; quand on y suppose 5 = o, il faut, lorsque R est plus grand que a, le remplacer par R — a et non plus par a — R; il en résulte une différence dans le résultat, et la force d'attraction est

— ^7rp.Da.

Elle est indépendante de R, et par conséquent une sphère de rayon R attire un point situé à la distance a de son centre, comme une sphère concentrique de rayon a, et une couche sphérique homogène est sans action sur les points intérieurs.

466. Les résultats précédents peuvent être aisément établis par des considérations géométriques.

Considérons une couche sphérique homogène infiniment mince, que nous regarderons comme une surface attirante, suivant une loi telle, que l'action d'un élément du sur une molécule pi, située à la distance r, soit ^—-7; — Une telle couche

est sans action sur les points intérieurs; il est aisé de le démontrer.

Soit, en effet, 0 la position du point attiré; considérons deux cônes opposés

par le sommet ayant pour angle û?w, c'est-à-dire interceptant une aire d(ù sur la

L Cale. int. 55

sphère do rayon iinilé, décrite du point 0 comme centre; les éléments interceptés sur la surface attirante aux points P cl Q sont respectivement

cos(OP, N) cos(OQ, N)

(OP, N), (OQ, N) désignant les angles formés par les rayons OP et OQ avec les normales à la spht're aux points P et Q; ces angles sont égaux, et les attractions

c"Ôs"(0P7N)' cÔs[OQ, n )

exercées sur le point 0 par les éléments PP', QQ' sont par conséquent égales et se détruisent; toutes les forces d'attraction exercées sur le point 0 se détruisent ainsi deux à deux, et leur résultante est nulle.

Considérons en second lieu l'action de la couche sur un point extérieur situe en 0' ; prenons sur le diamètre CO' un point 0 conjugué de 0', et tel, que CO .CO' = R'-.

Considérons ce point 0 comme sommet d'un cône intiniment petit d'angle </w, et cherchons la composante suivant O'C de l'action exercée sur la molécule de masse /x placée en 0' par la portion PP' de surface sphérique interceptée par ce cône. L'élément PP' est

cosOPC' l'action sur 0', décomposée suivant O'C, est par conséquent

„ JwÔP'cosPO'G cosOPC.O'P

mais les triangles CPO, CPO' sont semblables, les angles OPC, PO'C, sont donc

égaux, et le rap représentée par

égaux, et le rapport T^p est constant et égal à t^; l'action élémentaire est donc

DfA-r=r CO'